Skip to main content
Global

4.2: צמיחה משופרת בצפיפות

  • Page ID
    207435
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    דרווין עשה שימוש שאין שני לו במודל שנכשל, אך כיצד ניתן לשפר את המודל כך שהוא לא ייכשל?

    חשבו רק על שלושה צמחי סוזן שחורי עיניים (Rudbeckia hirta) שהתבססו בפארק הלאומי ילוסטון, אחד ליד הכניסה הצפון-מזרחית, אחד במרכז ושלישי ליד הכניסה הדרומית - הצמחים מופרדים כך ביותר מ -30 קילומטרים. באיזו תדירות יוכל אותו מאביק לבקר בשניים מהצמחים כדי שהצמחים יוכלו להתרבות? לעיתים רחוקות או לעולם לא, מכיוון שמאביקים אלה עוברים מרחקים מוגבלים. קצב הצמיחה של הצמח יהיה אפוא 0. (למעשה, זה יהיה שלילי, מכיוון ששלושת הצמחים ימותו בסופו של דבר.)

    נניח במקום זאת ש -1000 מהצמחים הללו היו מפוזרים בפארק, מה שהופך אותם למרחק של כ -2 קילומטרים זה מזה. מדי פעם מאביק עלול לקרות עד, אם כי הסיכוי שהוא יבקר באחת הסוזאניות השחורות האחרות יהיה נמוך מאוד. ובכל זאת, עם 1000 צמחים באזור, קצב הצמיחה יכול להיות מעט חיובי.

    שקול כעת 1,000,000 מאותם צמחים, מה שהופך אותם למרחק של כמאה מטרים זה מזה. האבקה תהפוך כעת לתדירה יחסית. קצב הגידול של האוכלוסייה תלוי אפוא במספר הצמחים בסביבה, כלומר מספר זה חייב להיות חלק מהמשוואה המשמשת לחישוב קצב גידול האוכלוסייה.

    אנו יכולים להשתמש במשוואה שהוצגה קודם לכן כדי לחשב קצב זה. ראשית, לשים פרמטר במקום 1, ככה.

    \(\frac{1}{N}\, \frac{∆N}{∆t}\, =\,r\), שם r היה בעבר 1

    לאחר מכן צרף מונח שמזהה את הצפיפות של שאר בני האוכלוסייה, N.

    \(\frac{1}{N}\, \frac{∆N}{∆t}\, =\,r\,+\,sN\),

    כאן r קשור למספר הצאצאים שכל צמח יפיק אם הוא לבד בעולם או באזור, ו-s הוא מספר הצאצאים הנוספים שהוא יפיק עבור כל צמח נוסף המופיע בסביבתו.

    נניח r = 0 ו s = 1/20, רק להמחשה, ולהתחיל עם שלושה צמחים, אז N (0) = 3. זה

    \(\frac{1}{N}\, \frac{∆N}{∆t}\, =\,0\,+\,0.05\,N\),

    לצפייה בדינמיקה של זה, הכפל את זה שוב

    \(\frac{∆N}{∆t}\, =\,(0\,+\,0.05\,N)\,N\),

    ולהמיר את המודל לקוד מחשב, ככה.
    r = 0; s = 0.05; dt = 1; t = 0; N = 3; הדפס (N);

    בעוד (t <= 14)

    {דנ =( ר+ס* נ) * נ* דט; נ=נ+דנ; t = ט+dt; הדפס (N);}

    אם אתה מפעיל מודל זה ב - R (או בשפות אחרות בהן קוד זה עובד, כמו C או AWK), תראה את המספרים למטה.

    3

    3.45

    4.045125

    4.863277

    6.045850

    7.873465

    10.97304

    16.99341

    31.43222

    80.83145

    407.5176

    8,711.049

    3,802,830

    723,079,533,905

    26,142,200,000,000,000,000,000

    גרף אלה ותראה את המספרים מתרחבים מעבר לכל הגבולות, אנכית מחוץ לדף.

    model.JPG אורתולוגי
    איור\(\PageIndex{1}\). צמיחה אורתולוגית (אדום) בניגוד לצמיחה מעריכית (כחול).

    הקו הכחול מראה את צמיחת החיידקים הבלתי מוגבלת (צמיחה מעריכית) שעזרה להוביל את דרווין לרעיון הברירה הטבעית שלו. הקו האדום ממחיש את "הצמיחה המשופרת בצפיפות" החדשה שרק נבחנת, שם קצב הצמיחה עולה עם הצפיפות.

    מכיוון שהוא מתקרב לקו שהוא אורתוגונלי לקו אליו ניגש המודל הלוגיסטי, המתואר בהמשך, אנו מכנים זאת "מודל אורתולוגי". הוא בורח לאינסוף כל כך מהר שהוא בעצם מגיע לשם בפרק זמן סופי. בפיזיקה ובמתמטיקה מצב זה נקרא "סינגולריות" - מקום שבו הכללים מתפרקים. כדי להבין זאת, חשוב לזכור שכל הדגמים הם פישוטים ולכן קירובים, והם חלים בטווח הספציפי שלהם. המודל האורתולוגי חל היטב בצפיפות נמוכה, כאשר צפיפות גדולה יותר פירושה צמיחה גדולה יותר. אבל מודל אחר ישתלט כאשר הצפיפות תהיה גבוהה מדי. למעשה, אם אוכלוסייה עוקבת אחר מודל אורתולוגי, המודל מנבא שיהיה שינוי גדול שיתרחש בעתיד הקרוב - לפני זמן הייחודיות.

    בפיזיקה, מודלים עם ייחודים זוכים לתשומת לב מיוחדת, שכן הם יכולים לחשוף תופעות שלא היו ידועות בעבר. חורים שחורים הם דוגמה אחת, ואילו אחד שגרתי יותר מהפיזיקה מוכר לכולם. שקול מטבע מסתובב עם נקודה אחת נוגעת בשולחן, מסתובב מהר יותר ויותר כאשר החיכוך וכוח המשיכה מאלצים את הזווית בין המטבע לשולחן להתכווץ עם הזמן. מסתבר שהמשוואות הפיזיקליות שמדגימות בצורה מדויקת למדי את המטבע המסתובב הזה כוללות ייחוד - מקום שבו סיבוב המטבע הופך מהיר לאין שיעור בזמן מוגדר לחישוב. כמובן שהסיבוב לא יכול להיות מהיר לאין שיעור. מכיוון שהמטבע מתקרב מדי לסינגולריות - מכיוון שהזווית שלו צונחת קרוב מדי לשולחן - הוא פשוט עובר לדגם אחר. המודל השונה הזה הוא מטבע נייח. האופי המדויק של המעבר בין המצבים המסתובבים והנייחים הוא מורכב ומתלבט, אך הבלתי נמנע של המעבר אינו.

    זה לא שונה באקולוגיה. אין להוזיל מודלים סבירים המובילים לייחודיות, אלא להיחשב קבילים היכן שהם חלים. הם מתעוררים באופן בלתי נמנע בגידול האוכלוסייה האנושית, הנחשב בפרק הבא.