10.4: לפתור יישומים לפי מודל משוואות ריבועיות
- Page ID
- 205538
בסוף פרק זה, תוכל:
- לפתור יישומים שעוצבו על פי משוואות ריבועיות
לפני שתתחיל, קח את חידון המוכנות הזה.
- הסכום של שני מספרים אי-זוגיים רצופים הוא -100. מצא את המספרים.
אם פספסת בעיה זו, סקור את [קישור]. - שטח ציור הקיר המשולש הוא 64 רגל מרובע. הבסיס הוא 16 רגל. מצא את הגובה.
אם פספסת בעיה זו, סקור את [קישור]. - מצא את אורך ההיפוטנוזה של משולש ימני עם רגליים 5 אינץ 'ו -12 אינץ'.
אם פספסת בעיה זו, סקור את [קישור].
לפתור יישומים של הנוסחה הריבועית
פתרנו כמה יישומים שעוצבו על ידי משוואות ריבועיות מוקדם יותר, כאשר השיטה היחידה שהיינו צריכים לפתור אותם הייתה פקטורינג. כעת, כשיש לנו שיטות נוספות לפתרון משוואות ריבועיות, נסתכל שוב על יישומים. כדי להתחיל, נעתיק כאן את האסטרטגיה הרגילה שלנו לפתרון בעיות כדי שנוכל לבצע את הצעדים.
- קרא את הבעיה. ודא שכל המילים והרעיונות מובנים.
- זהה את מה שאנחנו מחפשים.
- תן שם למה שאנחנו מחפשים. בחר משתנה שייצג את הכמות הזו.
- תרגם למשוואה. זה עשוי להיות מועיל לשחזר את הבעיה במשפט אחד עם כל המידע החשוב. לאחר מכן, תרגם את המשפט האנגלי למשוואת אלגברה.
- לפתור את המשוואה באמצעות טכניקות אלגברה טובות.
- בדוק את התשובה בבעיה וודא שהיא הגיונית.
- ענה על השאלה במשפט שלם.
פתרנו יישומי מספרים שכללו מספרים שלמים רצופים ומספרים שלמים מוזרים רצופים על ידי דוגמנות המצב במשוואות לינאריות. זכור, שמנו לב שכל מספר שלם שווה הוא 2 יותר מהמספר שקדם לו. אם אנחנו קוראים את הראשון n, אז הבא הוא \(n+2\). The next one would be \(n+2+2\) or \(n+4\). This is also true when we use odd integers. One set of even integers and one set of odd integers are shown below.
\[\begin{array}{cccc} {}&{\textbf{Consecutive even integers}}&{}&{\textbf{Consecutive odd integers}}\\ {}&{64, 66, 68}&{}&{77, 79, 81}\\ {n}&{1^{st} \text{even number}}&{n}&{1^{st} \text{odd number}}\\ {n+2}&{2^{nd} \text{even number}} &{n+2}&{2^{nd} \text{odd number}}\\ {n+4}&{3^{rd} \text{even number}}&{n+4}&{3^{rd} \text{odd number}}\\ \end{array}\]
יישומים מסוימים של מספרים שלמים מוזרים רצופים או מספרים שלמים אפילו רצופים מעוצבים על ידי משוואות ריבועיות. הסימון לעיל יהיה מועיל כשאתה שם את המשתנים.
המכפלה של שני מספרים שלמים מוזרים רצופים היא 195. מצא את המספרים השלמים.
- תשובה
-
שלב 1. קרא את הבעיה. שלב 2. זהה את מה שאנחנו מחפשים. אנו מחפשים שני מספרים שלמים מוזרים רצופים. שלב 3. תן שם למה שאנחנו מחפשים. תן \(n=\) את המספר השלם המוזר הראשון.
\(n+2=\)המספר השלם המוזר הבאשלב 4. תרגם למשוואה. ציין את הבעיה במשפט אחד. "התוצר של שני מספרים שלמים מוזרים רצופים הוא 195." המכפלה של המספר השלם המוזר הראשון והמספר השלם המוזר השני הוא 195. תרגם למשוואה. שלב 5. לפתור את המשוואה. להפיץ. הפחת 195 כדי לקבל את המשוואה בצורה סטנדרטית. זהה את ערכי a, b, c. כתוב את המשוואה הריבועית. ואז תחליף בערכים של a, b, c. לפשט.
לפשט את הרדיקלי. כתוב מחדש כדי להציג שני פתרונות. לפתור כל משוואה.
ישנם שני ערכים של n שהם פתרונות. זה ייתן לנו שני זוגות של מספרים שלמים מוזרים רצופים לפיתרון שלנו. מספר שלם מוזר ראשון n = 13
המספר השלם המוזר הבא n+2 13+2 15
מספר שלם מוזר ראשון n = −15
המספר השלם המוזר הבא n+2 −15+2 −13
שלב 6. בדוק את התשובה.
האם זוגות אלה עובדים?
האם הם מספרים שלמים מוזרים רצופים?
האם המוצר שלהם הוא 195?13, 15, כן -13, -15, כן
13⋅15=195, כן −13 (−15) =195, כן
שלב 7. תענה על השאלה. שני המספרים השלמים המוזרים ברציפות שהתוצר שלהם הוא 195 הם 13, 15 ו- -13, -15.
המכפלה של שני מספרים שלמים מוזרים רצופים היא 99. מצא את המספרים השלמים.
- תשובה
-
שני מספרים אי-זוגיים רצופים שהתוצר שלהם הוא 99 הם 9 ו -11, ו -9 ו -11.
המכפלה של שני מספרים שלמים מוזרים רצופים היא 168. מצא את המספרים השלמים.
- תשובה
-
שני מספרים זוגיים רצופים שהתוצר שלהם הוא 168 הם 12 ו -14, ו -12 ו -14.
נשתמש בנוסחה לאזור המשולש כדי לפתור את הדוגמה הבאה.
עבור משולש עם בסיס b וגובה h, השטח, A, ניתן על ידי הנוסחה\(A=\frac{1}{2}bh\).
נזכיר שכאשר אנו פותרים יישומי גיאומטריה, כדאי לצייר את הדמות.
אדריכל מתכנן את הכניסה למסעדה. היא רוצה לשים חלון משולש מעל הפתח. בשל מגבלות אנרגיה, החלון יכול להיות בשטח של 120 רגל מרובע והאדריכל רוצה שהרוחב יהיה 4 רגל יותר מפי שניים מהגובה. מצא את הגובה והרוחב של החלון.
- תשובה
-
שלב 1. קרא את הבעיה.
צייר תמונה.שלב 2. זהה את מה שאנחנו מחפשים. אנחנו מחפשים את הגובה והרוחב. שלב 3. תן שם למה שאנחנו מחפשים. תן \(h=\) את גובה המשולש.
\(2h+4=\)רוחב המשולששלב 4. תרגם. אנחנו מכירים את האזור. כתוב את הנוסחה לאזור המשולש.
שלב 5. לפתור את המשוואה. תחליף בערכים. להפיץ. זוהי משוואה ריבועית, לשכתב אותה בצורה סטנדרטית. פתור את המשוואה באמצעות הנוסחה הריבועית. זהה את ערכי a, b, c. כתוב את המשוואה הריבועית. ואז תחליף בערכים של a, b, c. לפשט.
לפשט את הרדיקלי. כתוב מחדש כדי להציג שני פתרונות. לפשט. מכיוון ש- h הוא גובה החלון, ערך של \(h=−12\) אינו הגיוני. גובה המשולש: \(h=10\)
רוחב המשולש: \(2h+4\)
\(2⋅10+4\)
\(24\)שלב 6. בדוק את התשובה. האם למשולש בגובה 10 ורוחב 24 יש שטח 120? כן. שלב 7. תענה על השאלה. גובה החלון המשולש הוא 10 רגל והרוחב הוא 24 רגל. שימו לב שהפתרונות היו מספרים שלמים. זה אומר לנו שיכולנו לפתור את המשוואה על ידי פקטורינג.
כשכתבנו את המשוואה בצורה סטנדרטית\(h^2+2h−120=0\), יכולנו לשקול אותה. אם היינו עושים זאת, היינו פותרים את המשוואה\((h+12)(h−10)=0\).
מצא את הממדים של משולש שרוחבו ארבעה יותר משש מגובהו ושטחו 208 אינץ 'מרובע.
- תשובה
-
גובה המשולש הוא 8 אינץ 'והרוחב הוא 52 אינץ'.
אם למשולש ששטחו 110 רגל מרובע יש גובה שהוא שני מטרים פחות מפי שניים מהרוחב, מה הממדים שלו?
- תשובה
-
גובה המשולש הוא 20 רגל והרוחב הוא 11 רגל.
בשתי הדוגמאות הקודמות, המספר ברדיקל בנוסחה הריבועית היה ריבוע מושלם ולכן הפתרונות היו מספרים רציונליים. אם נקבל מספר לא הגיוני כפתרון לבעיית יישומים, נשתמש במחשבון כדי לקבל ערך משוער.
משפט פיתגורס נותן את הקשר בין הרגליים והיפוטנוזה של משולש ימני. נשתמש במשפט פיתגורס כדי לפתור את הדוגמה הבאה.
בכל משולש ימני, כאשר a ו- b הם אורכי הרגליים ו- c הוא אורך ההיפוטנוזה, \(a^2+b^2=c^2\)
רנה מקימה תצוגת אור לחג. הוא רוצה ליצור 'עץ' בצורת שני משולשים ימניים, כפי שמוצג להלן, ויש לו שני מיתרי אורות בגובה 10 רגל לשימוש בצדדים. הוא יצמיד את האורות לחלק העליון של מוט ולשני יתדות על הקרקע. הוא רוצה שגובה המוט יהיה זהה למרחק מבסיס המוט לכל יתד. כמה גבוה צריך להיות המוט?
- תשובה
-
שלב 1. קרא את הבעיה. צייר תמונה שלב 2. זהה את מה שאנחנו מחפשים. אנחנו מחפשים את גובה המוט. שלב 3. תן שם למה שאנחנו מחפשים. המרחק מבסיס המוט לשני היתד זהה לגובה המוט. תן \(x=\) את גובה המוט.
\(x=\)המרחק מן המוט אל יתדכל צד הוא משולש ימני. אנו מציירים תמונה של אחד מהם. שלב 4. תרגם למשוואה. אנו יכולים להשתמש במשפט פיתגורס כדי לפתור עבור x. כתוב את משפט פיתגורס. \(a^2+b^2=c^2\) שלב 5. לפתור את המשוואה. תחליף. \(x^2+x^2=10^2\) לפשט. \(2x^2=100\) מחלקים ב -2 כדי לבודד את המשתנה. \(\frac{2x^2}{2}=\frac{100}{2}\) לפשט. \(x^2=50\) השתמש במאפיין השורש הריבועי. \(x=\pm\sqrt{50}\) לפשט את הרדיקלי. \(x=\pm5\sqrt{2}\) כתוב מחדש כדי להציג שני פתרונות. \(x=5\sqrt{2}\)
\(\not{x=−5\sqrt{2}}\)הערך את המספר הזה לעשירית הקרובה ביותר עם מחשבון. \(x \approx 7.1\) שלב 6. בדוק את התשובה.
בדוק בעצמך במשפט פיתגורס.שלב 7. תענה על השאלה. המוט צריך להיות בגובה של כ- 7.1 מטר.
השמש מטילה צל מעמוד דגל. גובה מוט הדגל הוא פי שלושה מאורך הצל שלו. המרחק בין קצה הצל לחלק העליון של מוט הדגל הוא 20 רגל. מצא את אורך הצל ואת אורך מוט הדגל. עגול לעשירית הרגל הקרובה ביותר.
- תשובה
-
אורך הצל הוא 6.3 רגל ואורך מוט הדגל הוא 18.9 רגל.
המרחק בין פינות מנוגדות של שדה מלבני הוא ארבע יותר מרוחב השדה. אורך השדה כפול מרוחבו. מצא את המרחק בין הפינות הנגדיות. סיבוב לעשירית הקרובה ביותר.
- תשובה
-
המרחק לפינה הנגדית הוא 3.2.
מייק רוצה לשים 150 מטרים רבועים של דשא מלאכותי בחצר הקדמית שלו. זהו השטח המרבי של דשא מלאכותי המותר על ידי איגוד בעלי הבתים שלו. הוא רוצה שיהיה שטח מלבני של דשא עם אורך רגל אחת פחות משלוש פעמים רוחב. מצא את האורך והרוחב. עגול לעשירית הרגל הקרובה ביותר.
- תשובה
-
שלב 1. קרא את הבעיה. צייר תמונה. שלב 2. זהה את מה שאנחנו מחפשים. אנו מחפשים את האורך והרוחב. שלב 3. תן שם למה שאנחנו מחפשים. תן \(w=\) את רוחב המלבן.
\(3w−1=\)אורכו של המלבןשלב 4. תרגם למשוואה.
אנחנו מכירים את האזור. כתוב את הנוסחה לאזור המלבן.
שלב 5. לפתור את המשוואה. תחליף בערכים. להפיץ. זוהי משוואה ריבועית, לשכתב אותה בצורה סטנדרטית. פתור את המשוואה באמצעות הנוסחה הריבועית. זהה את ערכי a, b, c. כתוב את הנוסחה הריבועית. ואז תחליף בערכים של a, b, c. לפשט.
כתוב מחדש כדי להציג שני פתרונות. הערך את התשובות באמצעות מחשבון.
אנו מבטלים את הפיתרון השלילי לרוחב.שלב 6. בדוק את התשובה.
ודא שהתשובות הגיוניות.שלב 7. תענה על השאלה. רוחב המלבן הוא כ 7.2 רגל והאורך 20.6 רגל.
אורכו של גן ירק מלבני בגודל 200 רגל מרובע הוא ארבעה מטרים פחות מפי שניים מהרוחב. מצא את אורך ורוחב הגן. עגול לעשירית הרגל הקרובה ביותר..
- תשובה
-
רוחב הגן הוא 11 רגל והאורך 18 רגל.
מפת שולחן מלבנית בשטח של 80 מטרים רבועים. הרוחב הוא 5 רגל קצר יותר מהאורך. מה האורך והרוחב של המפה? עגול לעשירית הרגל הקרובה ביותר.
- תשובה
-
רוחב המפה הוא 6.8 רגל והאורך הוא 11.8 רגל.
גובהו של קליע שנורה כלפי מעלה מעוצב על ידי משוואה ריבועית. המהירות ההתחלתית, \(v_{0}\), מניעה את האובייקט למעלה עד שכוח המשיכה גורם לאובייקט ליפול חזרה למטה.
הגובה ברגליים, h, של אובייקט שנורה כלפי מעלה לאוויר במהירות התחלתית,\(v_{0}\), לאחר t שניות ניתן על ידי הנוסחה:
\(h=−16t^2+v_{0}t\)
אנו יכולים להשתמש בנוסחה לתנועת קליע כדי למצוא כמה שניות ייקח לזיקוקים להגיע לגובה ספציפי.
זיקוקין נורה כלפי מעלה במהירות התחלתית 130 רגל לשנייה. כמה שניות ייקח להגיע לגובה של 260 רגל? סיבוב לעשירית השנייה הקרובה ביותר.
- תשובה
-
שלב 1. קרא את הבעיה. שלב 2. זהה את מה שאנחנו מחפשים. אנחנו מחפשים את מספר השניות, וזה הזמן. שלב 3. תן שם למה שאנחנו מחפשים. תן \(t=\) את מספר השניות. שלב 4. תרגם למשוואה. השתמש בנוסחה. \(h=−16t^2+v_{0}t\) שלב 5. לפתור את המשוואה.
אנו יודעים שהמהירות \(v_{0}\) היא 130 רגל לשנייה.הגובה הוא 260 רגל. תחליף את הערכים. זוהי משוואה ריבועית, לשכתב אותה בצורה סטנדרטית. פתור את המשוואה באמצעות הנוסחה הריבועית. זהה את ערכי a, b, c. כתוב את הנוסחה הריבועית. ואז תחליף בערכים של a, b, c. לפשט.
כתוב מחדש כדי להציג שני פתרונות. הערך את התשובות באמצעות מחשבון. \(t \approx 4.6\)שניות, \(t \approx 3.6\) שלב 6. בדוק את התשובה.
הצ'ק נשאר לך.שלב 7. תענה על השאלה. הזיקוקים יעלו ואז ייפלו חזרה למטה.
כאשר הזיקוקים יעלו, הוא יגיע ל -260 רגל לאחר
כ -3.6 שניות. זה גם יעבור את
הגובה הזה בדרך למטה ב -4.6 שניות.
חץ נורה מהקרקע לאוויר במהירות התחלתית של 108 רגל/שנייה. השתמש בנוסחה \(h=−16t^2+v_{0}t\) כדי לקבוע מתי החץ יהיה 180 מטר מהקרקע. סיבוב העשירית הקרובה ביותר של שנייה.
- תשובה
-
החץ יגיע ל -180 בדרכו למעלה תוך 3 שניות, ובדרך למטה תוך 3.8 שניות.
גבר זורק כדור לאוויר במהירות של 96 רגל/שנייה. השתמש בנוסחה \(h=−16t^2+v_{0}t\) כדי לקבוע מתי גובה הכדור יהיה 48 רגל. סיבוב לעשירית השנייה הקרובה ביותר.
- תשובה
-
הכדור יגיע ל -48 רגל בדרכו למעלה תוך 6 שניות ובדרך למטה תוך 5.5 שניות.
גש למשאבים מקוונים אלה להדרכה ותרגול נוספים בפתרון בעיות מילים באמצעות המשוואה הריבועית:
מושגי מפתח
- שטח משולש עבור משולש עם בסיס, b וגובה, h, השטח, A, ניתן על ידי הנוסחה: \(A=\frac{1}{2}bh\)
- משפט פיתגורס בכל משולש ימני, כאשר a ו- b הם אורכי הרגליים, ו- c הוא אורך ההיפותנוזה, \(a^2+b^2=c^2\)
- תנועת קליע הגובה ברגליים, h, של אובייקט שנורה כלפי מעלה לאוויר במהירות התחלתית,\(v_{0}\), לאחר tt שניות ניתן לעצב לפי הנוסחה
\(h=−16t^2+v_{0}t\)
רשימת מילים
- מספרים שלמים אפילו רצופים
- מספרים שלמים אפילו רצופים הם אפילו מספרים שלמים הבאים זה אחרי זה. אם מספר שלם אחיד מיוצג על ידי n, המספר השלם הבא ברציפות הוא\(n+2\), והבא אחריו הוא. \(n+4\)
- מספרים שלמים מוזרים רצופים
- מספרים שלמים מוזרים רצופים הם מספרים שלמים מוזרים הבאים זה אחרי זה. אם מספר שלם מוזר מיוצג על ידי n, המספר השלם המוזר הבא ברציפות הוא\(n+2\), והבא אחריו הוא. \(n+4\)