10.3: לפתור משוואות ריבועיות באמצעות הנוסחה הריבועית
- Page ID
- 205543
בסוף פרק זה תוכל:
- לפתור משוואות ריבועיות באמצעות הנוסחה הריבועית
- השתמש במפלה כדי לחזות את מספר הפתרונות של משוואה ריבועית
- זהה את השיטה המתאימה ביותר לשימוש כדי לפתור משוואה ריבועית
כאשר פתרנו משוואות ריבועיות בחלק האחרון על ידי השלמת הריבוע, עשינו את אותם הצעדים בכל פעם. בסוף התרגיל, אולי תהיתם 'האם אין דרך קלה יותר לעשות זאת? ' התשובה היא "כן". בחלק זה נגזור ונשתמש בנוסחה כדי למצוא את הפיתרון של משוואה ריבועית.
ראינו כבר כיצד לפתור נוסחה למשתנה ספציפי 'באופן כללי' כך שנעשה את הצעדים האלגבריים פעם אחת בלבד ואז נשתמש בנוסחה החדשה כדי למצוא את הערך של המשתנה הספציפי. כעת נעבור על השלבים של השלמת הריבוע באופן כללי כדי לפתור משוואה ריבועית עבור x. זה עשוי להיות מועיל להסתכל על אחת הדוגמאות בסוף החלק האחרון שבו פתרנו משוואה של הטופס \( ax^2+bx+c=0\) בעת קריאת השלבים האלגבריים למטה, כך שתראה אותם עם מספרים וכן 'באופן כללי'.
אנו מתחילים בצורה הסטנדרטית של משוואה ריבועית ופותרים אותה עבור x על ידי השלמת הריבוע. | \( ax^2+bx+c=0\) | |
לבודד את המונחים המשתנים בצד אחד. | \( ax^2+bx=−c\) | |
הפוך מקדם מוביל 1, על ידי חלוקה על ידי א. | \(\frac{ax^2}{a}+\frac{b}{a}x=−\frac{c}{a}\) | |
לפשט. | \(x^2+\frac{b}{a}x=−\frac{c}{a}\) | |
להשלמת הריבוע, מצא \((\frac{1}{2}·\frac{b}{a})^2\) והוסף אותו לשני צידי המשוואה. \((\frac{1}{2}\frac{b}{a})^2=\frac{b^2}{4a^2}\) |
\(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}=−\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}\) | |
הצד השמאלי הוא ריבוע מושלם, קחו אותו בחשבון. | \((x+\frac{b}{2a})^2=−\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}\) | |
מצא את המכנה המשותף של הצד הימני וכתובשברים שווים עם המכנה המשותף. | \((x+\frac{b}{2a})^2=−\frac{c·4a}{a·4a}+\frac{b^2}{4a^2}\) | |
לפשט. | \((x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2}{4a^2}−\frac{4ac}{4a^2}\) | |
שלב לשבריר אחד. | \((x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2−4ac}{4a^2}\) | |
השתמש במאפיין השורש הריבועי. | \((x+\frac{b}{2a})=\pm\sqrt{\frac{b^2−4ac}{4a^2}}\) | |
לפשט. | \((x+\frac{b}{2a})=\pm\frac{\sqrt{b^2−4ac}}{2a}\) | |
\(−\frac{b}{2a} \)הוסף לשני צידי המשוואה. | \(x=−\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2−4ac}}{2a}\) | |
שלב את התנאים בצד ימין. | \(x=\frac{−b\pm\sqrt{b^2−4ac}}{2a}\) |
משוואה אחרונה זו היא הנוסחה הריבועית.
הפתרונות למשוואה ריבועית של הטופס \(ax^2+bx+c=0\) \(a\ge 0\) ניתנים על ידי הנוסחה:
\(x=\frac{−b\pm\sqrt{b^2−4ac}}{2a}\)
כדי להשתמש בנוסחה הריבועית, אנו מחליפים את הערכים של a, b ו- c בביטוי בצד ימין של הנוסחה. לאחר מכן, אנו עושים את כל המתמטיקה כדי לפשט את הביטוי. התוצאה נותנת את הפתרון (ים) למשוואה הריבועית.
כיצד לפתור משוואה ריבועית באמצעות הנוסחה הריבועית
לפתור \(2x^2+9x−5=0\) באמצעות הנוסחה הריבועית.
- תשובה
-
לפתור \(3y^2−5y+2=0\) באמצעות הנוסחה הריבועית.
- תשובה
-
\(y=\frac{2}{3}\), \(y=1\)
לפתור \(4z^2+2z−6=0\) באמצעות הנוסחה הריבועית.
- תשובה
-
\(z=−\frac{3}{2}\), \(z=1\)
- כתוב את הנוסחה הריבועית בצורה סטנדרטית. זהה את ערכי aa, bb ו- cc.
- כתוב את הנוסחה הריבועית. לאחר מכן החלף בערכים של a, b ו- c.
- לפשט.
- בדוק את הפתרונות.
אם אתה אומר את הנוסחה בזמן שאתה כותב אותה בכל בעיה, תוכל לשנן אותה תוך זמן קצר. וזכרו, הנוסחה הריבועית היא משוואה. הקפד להתחיל עם '\(x=\)'.
לפתור \(x^2−6x+5=0\) באמצעות הנוסחה הריבועית.
- תשובה
-
משוואה זו היא בצורה סטנדרטית. זהה את ערכי a, b, c. כתוב את הנוסחה הריבועית. ואז תחליף בערכים של a, b, c. לפשט.
כתוב מחדש כדי להציג שני פתרונות. לפשט.
בדוק.
לפתור \(a^2−2a−15=0\) באמצעות הנוסחה הריבועית.
- תשובה
-
\(a=−3\), \(a=5\)
לפתור \(b^2+10b+24=0\) באמצעות הנוסחה הריבועית.
- תשובה
-
\(b=−6\), \(b=−4\)
כאשר פתרנו משוואות ריבועיות באמצעות נכס השורש הריבועי, לפעמים קיבלנו תשובות שיש בהן רדיקלים. זה יכול לקרות גם כאשר משתמשים בנוסחה הריבועית. אם נקבל רדיקל כפתרון, התשובה הסופית חייבת להיות הרדיקלית בצורתה הפשוטה.
לפתור \(4y^2−5y−3=0\) באמצעות הנוסחה הריבועית.
- תשובה
-
אנו יכולים להשתמש בנוסחה הריבועית כדי לפתור עבור המשתנה במשוואה ריבועית, בין אם הוא נקרא 'x' ובין אם לאו.
משוואה זו היא בצורה סטנדרטית. זהה את ערכי a, b, c. כתוב את הנוסחה הריבועית. ואז תחליף בערכים של a, b, c. לפשט.
כתוב מחדש כדי להציג שני פתרונות. בדוק. אנו משאירים לך את הצ'ק.
לפתור \(2p^2+8p+5=0\) באמצעות הנוסחה הריבועית.
- תשובה
-
\(p=\frac{−4\pm\sqrt{6}}{2}\)
לפתור \(5q^2−11q+3=0\) באמצעות הנוסחה הריבועית.
- תשובה
-
\(q=\frac{11\pm\sqrt{61}}{10}\)
לפתור \(2x^2+10x+11=0\) באמצעות הנוסחה הריבועית.
- תשובה
-
משוואה זו היא בצורה סטנדרטית. זהה את ערכי a, b, c. כתוב את הנוסחה הריבועית. ואז תחליף בערכים של a, b, c. לפשט.
לפשט את הרדיקלי. פקטור את הגורם המשותף במונה. הסר את הגורמים הנפוצים. כתוב מחדש כדי להציג שני פתרונות. בדוק. אנו משאירים לך את הצ'ק.
לפתור \(3m^2+12m+7=0\) באמצעות הנוסחה הריבועית.
- תשובה
-
\(m=\frac{−6\pm\sqrt{15}}{3}\)
לפתור \(5n^2+4n−4=0\) באמצעות הנוסחה הריבועית.
- תשובה
-
\(n=\frac{−2\pm2\sqrt{6}}{5}\)
איננו יכולים לקחת את השורש הריבועי של מספר שלילי. לכן, כאשר אנו מחליפים את a, b ו- c בנוסחה הריבועית, אם הכמות בתוך הרדיקל היא שלילית, למשוואה הריבועית אין פיתרון אמיתי. נראה זאת בדוגמה הבאה.
לפתור \(3p^2+2p+9=0\) באמצעות הנוסחה הריבועית.
- תשובה
-
משוואה זו היא בצורה סטנדרטית. זהה את ערכי a, b, c. כתוב את הנוסחה הריבועית. ואז תחליף בערכים של a, b, c. לפשט. לפשט את הרדיקלי. איננו יכולים לקחת את השורש הריבועי של מספר שלילי. אין פתרון אמיתי.
לפתור \(4a^2−3a+8=0\) באמצעות הנוסחה הריבועית.
- תשובה
-
אין פתרון אמיתי
לפתור \(5b^2+2b+4=0\) באמצעות הנוסחה הריבועית.
- תשובה
-
אין פתרון אמיתי
המשוואות הריבועיות שפתרנו עד כה בסעיף זה נכתבו כולן בצורה סטנדרטית,\(ax^2+bx+c=0\). לפעמים, נצטרך לעשות קצת אלגברה כדי להכניס את המשוואה לצורה סטנדרטית לפני שנוכל להשתמש בנוסחה הריבועית.
לפתור \(x(x+6)+4=0\) באמצעות הנוסחה הריבועית.
- תשובה
-
הפץ כדי לקבל את המשוואה בצורה סטנדרטית. משוואה זו נמצאת כעת בצורה סטנדרטית. זהה את ערכי a, b, c. כתוב את הנוסחה הריבועית. ואז תחליף בערכים של a, b, c. לפשט. פשט בתוך הרדיקל. לפשט את הרדיקלי. פקטור את הגורם המשותף במונה. הסר את הגורמים הנפוצים. כתוב מחדש כדי להציג שני פתרונות. בדוק. אנו משאירים לך את הצ'ק.
לפתור \(x(x+2)−5=0\) באמצעות הנוסחה הריבועית.
- תשובה
-
\(x=−1\pm\sqrt{6}\)
לפתור \(y(3y−1)−2=0\) באמצעות הנוסחה הריבועית.
- תשובה
-
\(y=−\frac{2}{3}\), \(y=1\)
כאשר פתרנו משוואות לינאריות, אם למשוואה היו יותר מדי שברים 'ניקינו את השברים' על ידי הכפלת שני צידי המשוואה ב- LCD. זה נתן לנו משוואה שווה ערך - ללא שברים - לפתור. אנו יכולים להשתמש באותה אסטרטגיה עם משוואות ריבועיות.
לפתור \(\frac{1}{2}u^2+\frac{2}{3}u=\frac{1}{3}\) באמצעות הנוסחה הריבועית.
- תשובה
-
הכפל את שני הצדדים על ידי LCD, 6, כדי לנקות את השברים. להכפיל. הפחת 2 כדי לקבל את המשוואה בצורה סטנדרטית. זהה את ערכי a, b, c. כתוב את הנוסחה הריבועית. ואז תחליף בערכים של a, b, c. לפשט.
לפשט את הרדיקלי. פקטור את הגורם המשותף במונה. הסר את הגורמים הנפוצים. כתוב מחדש כדי להציג שני פתרונות. בדוק. אנו משאירים לך את הצ'ק.
לפתור \(\frac{1}{4}c^2−\frac{1}{3}c=\frac{1}{12}\) באמצעות הנוסחה הריבועית.
- תשובה
-
\(c=\frac{2\pm\sqrt{7}}{3}\)
לפתור \(\frac{1}{9}d^2−\frac{1}{2}d=−\frac{1}{2}\) באמצעות הנוסחה הריבועית.
- תשובה
-
\(d=\frac{3}{2}\), \(d=3\)
חשבו על המשוואה \((x−3)^2=0\). We know from the Zero Products Principle that this equation has only one solution: \(x=3\).
נראה בדוגמה הבאה כיצד השימוש בנוסחה הריבועית לפיתרון משוואה עם ריבוע מושלם נותן גם פיתרון אחד בלבד.
לפתור \(4x^2−20x=−25\) באמצעות הנוסחה הריבועית.
- תשובה
-
הוסף 25 כדי לקבל את המשוואה בצורה סטנדרטית. זהה את ערכי a, b, c. כתוב את הנוסחה הריבועית. ואז תחליף בערכים של a, b, c. לפשט.
לפשט את הרדיקלי. פשט את השבר. בדוק. אנו משאירים לך את הצ'ק. האם זיהית \(4x^2−20x+25\) שזה ריבוע מושלם?
לפתור \(r^2+10r+25=0\) באמצעות הנוסחה הריבועית.
- תשובה
-
\(r=−5\)
לפתור \(25t^2−40t=−16\) באמצעות הנוסחה הריבועית.
- תשובה
-
\(t=\frac{4}{5}\)
השתמש במבחין כדי לחזות את מספר הפתרונות של משוואה ריבועית
כשפתרנו את המשוואות הריבועיות בדוגמאות הקודמות, לפעמים קיבלנו שני פתרונות, לפעמים פתרון אחד, לפעמים אין פתרונות אמיתיים. האם יש דרך לחזות את מספר הפתרונות למשוואה ריבועית מבלי לפתור את המשוואה בפועל?
כן, הכמות בתוך הרדיקל של הנוסחה הריבועית מקלה עלינו לקבוע את מספר הפתרונות. כמות זו נקראת המפלה.
בנוסחה \(x=\frac{−b\pm\sqrt{b^2−4ac}}{2a}\) הריבועית הכמות \(b^2−4ac\) נקראת המפלה.
בואו נסתכל על ההבחנה של המשוואות בדוגמה, דוגמה ודוגמה, ומספר הפתרונות לאותן משוואות ריבועיות.
משוואה ריבועית (בצורה סטנדרטית) | מפלה \(b^2−4ac\) | סימן המפלה | מספר הפתרון האמיתי | |
---|---|---|---|---|
דוגמא | \(2x^2+9x−5=0\) | \ (ב^2−4ac\)" ערך נתונים = מחלקה "אמצעית" = "lt-מתמטיקה-15194"> \(9^2−4·2(−5)=121\) | + | 2 |
דוגמא | \(4x^2−20x+25=0\) | \ (ב^2−4ac\)" ערך נתונים = מחלקה "אמצעית" = "lt-מתמטיקה-15194"> \((−20)^2−4·4·25=0\) | 0 | 1 |
דוגמא | \(3p^2+2p+9=0\) | \ (ב^2−4ac\)" ערך נתונים = מחלקה "אמצעית" = "lt-מתמטיקה-15194"> \(2^2−4·3·9=−104\) | − | 0 |
כאשר המפלה חיובי למשוואה \(x=\frac{−b\pm\sqrt{+}}{2a}\) הריבועית יש שני פתרונות.
כאשר המפלה הוא אפס \(x=\frac{−b\pm\sqrt{0}}{2a}\) למשוואה הריבועית יש פיתרון אחד.
כאשר המפלה שלילי למשוואה \(x=\frac{−b\pm\sqrt{−}}{2a}\) הריבועית אין פתרונות אמיתיים.
עבור משוואה ריבועית של הצורה\(ax^2+bx+c=0\),, \(a \ge 0\)
- אם \(b^2−4ac>0\) למשוואה יש שני פתרונות.
- אם \(b^2−4ac=0\) למשוואה יש פתרון אחד.
- אם \(b^2−4ac<0\) למשוואה אין פתרונות אמיתיים.
קבע את מספר הפתרונות לכל משוואה ריבועית:
- \(2v^2−3v+6=0\)
- \(3x^2+7x−9=0\)
- \(5n^2+n+4=0\)
- \(9y^2−6y+1=0\)
- תשובה
-
1.
\(2v^2−3v+6=0\) המשוואה היא בצורה סטנדרטית, לזהות a, b, c. \(a=2\)\(b=−3\), \(c=6\) כתוב את המפלה. \(b^2−4ac\) תחליף בערכים של a, b, c. \((3)^2−4·2·6\) לפשט. \(9−48\)
\(−39\)
מכיוון שהמפלה הוא שלילי, אין פתרונות אמיתיים למשוואה. 2.
\(3x^2+7x−9=0\) המשוואה היא בצורה סטנדרטית, לזהות a, b, c. \(a=3\)\(b=7\), \(c=−9\) כתוב את המפלה. \(b^2−4ac\) תחליף בערכים של a, b, c. \((7)^2−4·3·(−9)\) לפשט. \(49+108\)
\(157\)
מכיוון שהמפלה חיובי, ישנם שני פתרונות למשוואה. 3.
\(5n^2+n+4=0\) המשוואה היא בצורה סטנדרטית, לזהות a, b, c. \(a=5\)\(b=1\), \(c=4\) כתוב את המפלה. \(b^2−4ac\) תחליף בערכים של a, b, c. \((1)^2−4·5·4\) לפשט. \(1−80\)
\(−79\)
מכיוון שהמפלה הוא שלילי, אין פתרונות אמיתיים למשוואה. 4.
\(9y^2−6y+1=0\) המשוואה היא בצורה סטנדרטית, לזהות a, b, c. \(a=9\)\(b=−6\), \(c=1\) כתוב את המפלה. \(b^2−4ac\) תחליף בערכים של a, b, c. \((−6)^2−4·9·1\) לפשט. \(36−36\)
\(0\)
מכיוון שהמפלה הוא 0, יש פיתרון אחד למשוואה.
קבע את מספר הפתרונות לכל משוואה ריבועית:
- \(8m^2−3m+6=0\)
- \(5z^2+6z−2=0\)
- \(9w^2+24w+16=0\)
- \(9u^2−2u+4=0\)
- תשובה
-
- אין פתרונות אמיתיים
- 2
- 1
- אין פתרונות אמיתיים
קבע את מספר הפתרונות לכל משוואה ריבועית:
- \( b^2+7b−13=0\)
- \(5a^2−6a+10=0\)
- \(4r^2−20r+25=0\)
- \(7t^2−11t+3=0\)
- תשובה
-
- 2
- אין פתרונות אמיתיים
- 1
- 2
זהה את השיטה המתאימה ביותר לשימוש לפתרון משוואה ריבועית
השתמשנו בארבע שיטות לפתרון משוואות ריבועיות:
- פקטורינג
- נכס שורש מרובע
- השלמת הכיכר
- פורמולה ריבועית
אתה יכול לפתור כל משוואה ריבועית באמצעות הנוסחה הריבועית, אך זו לא תמיד השיטה הקלה ביותר לשימוש.
- נסה קודם את פקטורינג. אם הגורמים הריבועיים בקלות, שיטה זו היא מהירה מאוד.
- נסה את נכס השורש הריבועי הבא. אם המשוואה מתאימה לצורה \(ax^2=k\) או\(a(x−h)^2=k\), ניתן לפתור אותה בקלות באמצעות מאפיין השורש הריבועי.
- השתמש בנוסחה הריבועית. ניתן לפתור כל משוואה ריבועית באמצעות הנוסחה הריבועית.
מה לגבי שיטת השלמת הכיכר? רוב האנשים מוצאים את השיטה הזו מסורבלת ומעדיפים לא להשתמש בה. היינו צריכים לכלול אותו בפרק זה מכיוון שהשלמנו את הריבוע באופן כללי כדי לגזור את הנוסחה הריבועית. תוכלו להשתמש גם בתהליך השלמת הריבוע באזורים אחרים באלגברה.
זהה את השיטה המתאימה ביותר לשימוש כדי לפתור כל משוואה ריבועית:
- \(5z^2=17\)
- \(4x^2−12x+9=0\)
- \(8u^2+6u=11\)
- תשובה
-
1. \(5z^2=17\)
מכיוון שהמשוואה נמצאת ב-\(ax^2=k\), השיטה המתאימה ביותר היא להשתמש במאפיין השורש הריבועי.
2. \(4x^2−12x+9=0\)
אנו מכירים בכך שהצד השמאלי של המשוואה הוא טרינום מרובע מושלם, ולכן פקטורינג תהיה השיטה המתאימה ביותר.
3. \(8u^2+6u=11\)
שים את המשוואה בצורה סטנדרטית. \(8u^2+6u−11=0\)
בעוד שהמחשבה הראשונה שלנו עשויה להיות לנסות פקטורינג, חשיבה על כל האפשרויות לניסוי וטעייה מובילה אותנו לבחור בנוסחה הריבועית כשיטה המתאימה ביותר.
זהה את השיטה המתאימה ביותר לשימוש כדי לפתור כל משוואה ריבועית:
- \(x^2+6x+8=0\)
- \((n−3)^2=16\)
- \(5p^2−6p=9\)
- תשובה
-
- גורם
- נכס שורש מרובע
- פורמולה ריבועית
זהה את השיטה המתאימה ביותר לשימוש כדי לפתור כל משוואה ריבועית:
- \(8a^2+3a−9=0\)
- \(4b^2+4b+1=0\)
- \(5c2=125\)
- תשובה
-
- פורמולה ריבועית
- פקטורינג
- נכס שורש מרובע
גש למשאבים מקוונים אלה לקבלת הדרכה ותרגול נוספים באמצעות הנוסחה הריבועית:
- פתרון משוואות ריבועיות: פתרון עם הנוסחה הריבועית
- כיצד לפתור משוואה ריבועית בצורה סטנדרטית באמצעות הנוסחה הריבועית (דוגמה)
- פתרון משוואות ריבועיות באמצעות הנוסחה הריבועית - דוגמה 3
- לפתור משוואות ריבועיות באמצעות נוסחה ריבועית
מושגי מפתח
- נוסחה ריבועית הפתרונות למשוואה ריבועית של הצורה \(ax^2+bx+c=0\) \(a \ge 0\) ניתנים על ידי הנוסחה:
\(x=\frac{−b\pm\sqrt{b^2−4ac}}{2a}\)
- לפתור משוואה ריבועית באמצעות הנוסחה הריבועית
כדי לפתור משוואה ריבועית באמצעות הנוסחה הריבועית.- כתוב את הנוסחה הריבועית בצורה סטנדרטית. זהה את ערכי a, b, c.
- כתוב את הנוסחה הריבועית. ואז תחליף בערכים של a, b, c.
- לפשט.
- בדוק את הפתרונות.
- באמצעות המפלה,\(b^2−4ac\), כדי לקבוע את מספר הפתרונות של משוואה ריבועית
למשוואה ריבועית של הטופס,, \(ax^2+bx+c=0\) \(a \ge 0\)- אם\(b^2−4ac>0\), למשוואה יש 2 פתרונות.
- אם\(b^2−4ac=0\), למשוואה יש פתרון אחד.
- אם \(b^2−4ac<0\) למשוואה אין פתרונות אמיתיים.
- כדי לזהות את השיטה המתאימה ביותר לפתרון משוואה ריבועית:
- נסה קודם את פקטורינג. אם הגורמים הריבועיים בקלות שיטה זו מהירה מאוד.
- נסה את נכס השורש הריבועי הבא. אם המשוואה מתאימה לצורה \(ax^2=k\) או\(a(x−h)^2=k\), ניתן לפתור אותה בקלות באמצעות מאפיין השורש הריבועי.
- השתמש בנוסחה הריבועית. כל משוואה ריבועית אחרת נפתרת בצורה הטובה ביותר באמצעות הנוסחה הריבועית.
רשימת מילים
- מפלה
- בנוסחה הריבועית \(x=\frac{−b\pm\sqrt{b^2−4ac}}{2a}\) הכמות \(b^2−4ac\) נקראת המפלה.