Skip to main content
Global

10.2: לפתור משוואות ריבועיות על ידי השלמת הריבוע

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    205562

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    מטרות למידה

    בסוף פרק זה, תוכל:

    • השלם את הריבוע של ביטוי בינומי
    • לפתור משוואות ריבועיות של הטופס \(x^2+bx+c=0\) על ידי השלמת הריבוע
    • לפתור משוואות ריבועיות של הטופס \(ax^2+bx+c=0\) על ידי השלמת הריבוע
    הערה

    לפני שתתחיל, קח את חידון המוכנות הזה. אם אתה מפספס בעיה, חזור לסעיף המפורט ובדוק את החומר.

    1. לפשט\((x+12)^2\).
      אם פספסת בעיה זו, עיין בדוגמה 6.4.1.
    2. פקטור\(y^2−18y+81\).
      אם פספסת בעיה זו, עיין בתרגיל 7.4.1.
    3. פקטור\(5n^2+40n+80\).
      אם פספסת בעיה זו, עיין בתרגיל 7.4.13.

    עד כה פתרנו משוואות ריבועיות על ידי פקטורינג ושימוש במאפיין השורש הריבועי. בחלק זה נפתור משוואות ריבועיות על ידי תהליך שנקרא 'השלמת הריבוע'.

    השלם את ריבוע הביטוי הבינומי

    בחלק האחרון הצלחנו להשתמש במאפיין השורש הריבועי כדי לפתור את המשוואה \((y−7)^2=12\) מכיוון שהצד השמאלי היה ריבוע מושלם.

    \[\begin{array}{l} {(y−7)^2=12}\\ {y−7=\pm\sqrt{12}}\\ {y−7=\pm2\sqrt{3}}\\ {y=7\pm2\sqrt{3}}\\ \nonumber \end{array}\]

    פתרנו גם משוואה שבה הצד השמאלי היה טרינום מרובע מושלם, אך היינו צריכים לשכתב אותו בצורה על מנת להשתמש \((x−k)^2\) במאפיין השורש הריבועי.

    \[\begin{array}{l} {x^2−10x+25=18}\\ {(x−5)^2=18}\\ \nonumber \end{array}\]

    מה קורה אם המשתנה אינו חלק מריבוע מושלם? האם נוכל להשתמש באלגברה כדי ליצור ריבוע מושלם?

    בואו נלמד את התבנית המרובעת הבינומית בה השתמשנו פעמים רבות. נבחן שתי דוגמאות.

    \[\begin{array}{ll} {(x+9)^2}&{(y−7)^2}\\ {(x+9)(x+9)}&{(y−7)(y−7)}\\ {x^2+9x+9x+81}&{y^2−7y−7y+49}\\ {x^2+18x+81}&{y^2−14y+49}\\ \nonumber \end{array}\]

    הגדרה: תבנית ריבועים בינומיים

    אם a, b הם מספרים ממשיים,

    \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)

    alt

    \((a−b)^2=a^2−2ab+b^2\)

    alt

    אנו יכולים להשתמש בתבנית זו כדי "ליצור" ריבוע מושלם.

    נתחיל בביטוי\(x^2+6x\). מכיוון שיש סימן פלוס בין שני המונחים, נשתמש \((a+b)^2\) בתבנית.

    \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\)

    שימו לב שהמונח הראשון של \(x^2+6x\) הוא ריבוע,\(x^2\).

    עכשיו אנחנו יודעים\(a=x\).

    לאיזה מספר נוכל להוסיף \(x^2+6x\) כדי ליצור טרינום מרובע מושלם?

    התמונה מציגה את הביטוי a בריבוע פלוס שניים a b פלוס b בריבוע. מתחתיו הביטוי x בריבוע פלוס שש x פלוס רווח ריק. ה- x בריבוע נמצא מתחת לריבוע a, שש x נמצא מתחת לשניים a b והריק נמצא מתחת לריבוע b.

    המונח האמצעי של תבנית הריבועים הבינומיים, 2ab, הוא כפול מהתוצר של שני המונחים של הבינום. משמעות הדבר היא פי שניים מהתוצר של x ומספר כלשהו הוא 6x. אז, פעמיים מספר כלשהו חייב להיות שש. המספר שאנחנו צריכים הוא\(\frac{1}{2}·6=3\). המונח השני בבינומי, ב, חייב להיות 3.

    התמונה דומה לתמונה למעלה. זה מראה את הביטוי a בריבוע פלוס שניים a b פלוס b בריבוע. מתחתיו הביטוי x בריבוע פלוס פעמיים שלוש פעמים x בתוספת רווח ריק. ה- x בריבוע נמצא מתחת לריבוע a, פעמיים שלוש פעמים x הוא מתחת לשניים a b והריק נמצא מתחת לריבוע b.

    עכשיו אנחנו יודעים\(b=3\).

    עכשיו, אנחנו רק מרובעים את המונח השני של הבינום כדי לקבל את המונח האחרון של הטרינום המרובע המושלם, אז אנחנו מרובעים שלוש כדי לקבל את הקדנציה האחרונה, תשע.

    התמונה מציגה את הביטוי a בריבוע פלוס שניים a b פלוס b בריבוע. מתחתיו הביטוי x בריבוע פלוס שש x פלוס תשע.

    כעת אנו יכולים לקחת בחשבון

    התמונה מציגה את כמות הביטוי a פלוס b בריבוע. מתחתיו נמצא הביטוי כמות x פלוס שלושה בריבוע.

    אז גילינו שהוספת תשע \(x^2+6x\) ל'משלימה את הריבוע ', ואנחנו כותבים אותה כ\((x+3)^2\).

    הגדרה: השלם ריבוע

    כדי להשלים את הריבוע של\(x^2+bx\):

    1. זהה את b, המקדם של x.
    2. מצא\((\frac{1}{2}b)^2\), את המספר כדי להשלים את הריבוע.
    3. הוסף את \( (\frac{1}{2}b)^2\) ל\(x^2+bx\).
    דוגמא \(\PageIndex{1}\)

    השלם את הכיכר כדי ליצור טרינום מרובע מושלם. לאחר מכן, כתוב את התוצאה כריבוע בינומי.

    \(x^2+14x\)

    תשובה
    המקדם של x הוא 14. .

    מצא\((\frac{1}{2}b)^2\).

    \((\frac{1}{2}⋅14)^2\)

    \((7)^2\)

    49

    		  
    הוסף 49 לבינומי כדי להשלים את הריבוע. \(x^2+14x+49\)
    לשכתב כריבוע בינומי. \((x+7)^2\)
    דוגמא \(\PageIndex{2}\)

    השלם את הכיכר כדי ליצור טרינום מרובע מושלם. כתוב את התוצאה כריבוע בינומי.

    \(y^2+12y\)

    תשובה

    \((y+6)^2\)

    דוגמא \(\PageIndex{3}\)

    השלם את הכיכר כדי ליצור טרינום מרובע מושלם. כתוב את התוצאה כריבוע בינומי.

    \(z^2+8z\)

    תשובה

    \((z+4)^2\)

    דוגמא \(\PageIndex{4}\)

    השלם את הכיכר כדי ליצור טרינום מרובע מושלם. לאחר מכן, כתוב את התוצאה בריבוע בינומי. \(m^2−26m\)

    תשובה
      התמונה מציגה את הביטוי m בריבוע מינוס 26 מ 'עם x בריבוע פלוס b x כתוב מעליו. המקדם של m הוא שלילי 26 ולכן b הוא שלילי 26. מצא חצי מ- b וריבוע אותו. מחצית שלילי 26 הוא שלילי 13 ושלילי 13 בריבוע הוא 169. הוסף 169 לבינומי כדי להשלים את הריבוע ולקבל את הביטוי m בריבוע מינוס 26 מ 'פלוס 169 שהוא הכמות m מינוס 13 בריבוע.

    מצא\((\frac{1}{2}b)^2\).

    \((\frac{1}{2}⋅(−26))^2\)

    \((−13)^2\)

    169

    		  
    הוסף 169 לבינומי כדי להשלים את הריבוע. \(m^2−26m+169\)
    לשכתב כריבוע בינומי. \((m−13)^2\)
    דוגמא \(\PageIndex{5}\)

    השלם את הכיכר כדי ליצור טרינום מרובע מושלם. כתוב את התוצאה כריבוע בינומי.

    \(a^2−20a\)

    תשובה

    \((a−10)^2\)

    דוגמא \(\PageIndex{6}\)

    השלם את הכיכר כדי ליצור טרינום מרובע מושלם. כתוב את התוצאה כריבוע בינומי.

    \(b^2−4b\)

    תשובה

    \((b−2)^2\)

    דוגמא \(\PageIndex{7}\)

    השלם את הכיכר כדי ליצור טרינום מרובע מושלם. לאחר מכן, כתוב את התוצאה בריבוע בינומי.

    \(u^2−9u\)

    תשובה
    המקדם של u הוא -9. .

    מצא\((\frac{1}{2}b)^2\).

    \((\frac{1}{2}⋅(−9))^2\)

    \((−\frac{9}{2})^2\)

    \(\frac{81}{4}\)

    		  
    הוסף \(\frac{81}{4}\) לבינומי כדי להשלים את הריבוע. \(u^2−9u+\frac{81}{4}\)
    לשכתב כריבוע בינומי. \((u−\frac{9}{2})^2\)
    דוגמא \(\PageIndex{8}\)

    השלם את הכיכר כדי ליצור טרינום מרובע מושלם. כתוב את התוצאה כריבוע בינומי.

    \(m^2−5m\)

    תשובה

    \((m−\frac{5}{2})^2\)

    דוגמא \(\PageIndex{9}\)

    השלם את הכיכר כדי ליצור טרינום מרובע מושלם. כתוב את התוצאה כריבוע בינומי.

    \(n^2+13n\)

    תשובה

    \((n+\frac{13}{2})^2\)

    דוגמא \(\PageIndex{10}\)

    השלם את הכיכר כדי ליצור טרינום מרובע מושלם. לאחר מכן, כתוב את התוצאה בריבוע בינומי.

    \(p^2+12p\)

    תשובה
    המקדם של p הוא \(\frac{1}{2}\) .

    מצא\((\frac{1}{2}b)^2\).

    \((\frac{1}{2}⋅\frac{1}{2})^2\)

    \((\frac{1}{4})^2\)

    \(\frac{1}{16}\)

    		  
    הוסף \(\frac{1}{16}\) לבינומי כדי להשלים את הריבוע. \(p^2+\frac{1}{2}p+\frac{1}{16}\)
    לשכתב כריבוע בינומי. \((p+\frac{1}{4})^2\)
    דוגמא \(\PageIndex{11}\)

    השלם את הכיכר כדי ליצור טרינום מרובע מושלם. כתוב את התוצאה כריבוע בינומי.

    \(p^2+\frac{1}{4}p\)

    תשובה

    \((p+\frac{1}{8})^2\)

    דוגמא \(\PageIndex{12}\)

    השלם את הכיכר כדי ליצור טרינום מרובע מושלם. כתוב את התוצאה כריבוע בינומי.

    \(q^2−\frac{2}{3}q\)

    תשובה

    \((q−\frac{1}{3})^2\)

    לפתור משוואות ריבועיות של הטופס \(x^2 + bx + c = 0\) על ידי השלמת הריבוע

    בפתרון משוואות, עלינו תמיד לעשות את אותו הדבר לשני צידי המשוואה. זה נכון, כמובן, כאשר אנו פותרים משוואה ריבועית על ידי השלמת הריבוע, גם כן. כאשר אנו מוסיפים מונח לצד אחד של המשוואה כדי ליצור טרינום מרובע מושלם, עלינו להוסיף את אותו מונח לצד השני של המשוואה.

    לדוגמה, אם נתחיל במשוואה \(x^2+6x=40\) ונרצה להשלים את הריבוע משמאל, נוסיף תשעה לשני צידי המשוואה.

    התמונה מציגה את המשוואה x בריבוע פלוס שש x שווה 40. מתחת לזה המשוואה נכתבת מחדש כ- x בריבוע בתוספת שישה x פלוס שטח ריק שווה 40 פלוס שטח ריק. מתחת לזה המשוואה נכתבת שוב כ- x בריבוע פלוס שש x פלוס תשע שווה 40 פלוס תשע.

    לאחר מכן, אנו גורמים בצד שמאל ומפשטים מימין.

    \((x+3)^2=49\)

    כעת המשוואה היא בצורה לפתרון באמצעות מאפיין השורש הריבועי. השלמת הריבוע היא דרך להפוך משוואה לצורה הדרושה לנו בכדי להיות מסוגלים להשתמש במאפיין השורש הריבועי.

    כיצד לפתור משוואה ריבועית של הטופס על \(x^2+bx+c=0\) ידי השלמת הריבוע.

    דוגמא \(\PageIndex{13}\)

    לפתור \(x^2+8x=48\) על ידי השלמת הכיכר.

    תשובה

    התמונה מציגה את השלבים לפתרון המשוואה x בריבוע בתוספת שמונה x שווה 48. שלב ראשון הוא לבודד את מונחי המשתנים מצד אחד ואת התנאים הקבועים מצד שני. במשוואה כבר יש את כל המשתנים משמאל.שלב שני הוא למצוא את הכמות מחצית b בריבוע, את המספר להשלמת הריבוע ולהוסיף אותו לשני צידי המשוואה. המקדם של x הוא שמונה ולכן b הוא שמונה. קח חצי משמונה, שזה ארבע ורבע אותה כדי לקבל 16. הוסף 16 לשני צידי המשוואה כדי לקבל x בריבוע פלוס שמונה x פלוס 16 שווה 48 פלוס 16.שלב שלישי הוא לחשב את הטרינום המרובע המושלם כריבוע בינומי. הצד השמאלי הוא הטרינום המרובע המושלם x בריבוע בתוספת שמונה x פלוס 16 הגורם לכמות x פלוס ארבעה בריבוע. הוספת בצד ימין 48 פלוס 16 היא 64. המשוואה היא כעת הכמות x פלוס ארבעה בריבוע שווה 64.שלב רביעי הוא להשתמש במאפיין השורש הריבועי כדי להפוך את המשוואה x פלוס ארבעה שווה פלוס מינוס השורש הריבועי של 64.שלב חמישי הוא לפשט את הרדיקל ואז לפתור את שתי המשוואות המתקבלות. השורש הריבועי של 64 הוא שמונה. ניתן לכתוב את המשוואה כשתי משוואות: x פלוס ארבע שווה שמונה ו- x פלוס ארבע שווה לשמונה שלילית. פתרון כל משוואה נותן x שווה לארבעה או שלילי 12.שלב שישי הוא לבדוק את הפתרונות. כדי לבדוק את הפתרונות הכניסו כל תשובה למשוואה המקורית. החלפת x שווה לארבעה במשוואה המקורית כדי לקבל ארבעה בריבוע פלוס שמונה פעמים ארבע שווה 48. הצד השמאלי מפשט ל 16 פלוס 32 שהוא 48. החלפת x שווה 12 שלילי במשוואה המקורית כדי לקבל שלילי 12 בריבוע פלוס שמונה פעמים שלילי 12 שווה 48. הצד השמאלי מפשט ל 144 מינוס 96 שהוא 48.

    דוגמא \(\PageIndex{14}\)

    לפתור \(c^2+4c=5\) על ידי השלמת הכיכר.

    תשובה

    \(c=−5\), \(c=1\)

    דוגמא \(\PageIndex{15}\)

    לפתור \(d^2+10d=−9\) על ידי השלמת הכיכר.

    תשובה

    \(d=−9\), \(d=−1\)

    הגדרה: לפתור משוואה ריבועית של הטופס \(x^2+bx+c=0\) BY COMPLETING THE SQUARE.
    1. לבודד את המונחים המשתנים בצד אחד ואת התנאים הקבועים בצד השני.
    2. מצא\((\frac{1}{2}·b)^2\), את המספר כדי להשלים את הריבוע. הוסף אותו לשני צידי המשוואה.
    3. פקטור הטרינום המרובע המושלם כריבוע בינומי.
    4. השתמש במאפיין השורש הריבועי.
    5. פשט את הרדיקל ואז פתר את שתי המשוואות המתקבלות.
    6. בדוק את הפתרונות.
    דוגמא \(\PageIndex{16}\)

    לפתור \(y^2−6y=16\) על ידי השלמת הכיכר.

    תשובה
    המונחים המשתנים נמצאים בצד שמאל. .

    קח חצי מ -6 וריבוע אותו. \((\frac{1}{2}(−6))^2=9\)    		 .
    הוסף 9 לשני הצדדים. .
    פקטור הטרינום המרובע המושלם כריבוע בינומי. .
    השתמש במאפיין השורש הריבועי. .
    לפשט את הרדיקלי. .
    לפתור עבור y. .
    כתוב מחדש כדי להציג שני פתרונות. .
    לפתור את המשוואות. .

    בדוק.
    .    		  
    דוגמא \(\PageIndex{17}\)

    לפתור \(r^2−4r=12\) על ידי השלמת הכיכר.

    תשובה

    \(r=−2\), \(r=6\)

    דוגמא \(\PageIndex{18}\)

    לפתור \(t^2−10t=11\) by completing the square.

    תשובה

    \(t=−1\), \(t=11\)

    דוגמא \(\PageIndex{19}\)

    לפתור \(x^2+4x=−21\) על ידי השלמת הכיכר.

    תשובה
    המונחים המשתנים נמצאים בצד שמאל. .

    קח חצי מ -4 וריבוע אותו. \((\frac{1}{2}(4))^2=4\)    		 .
    הוסף 4 לשני הצדדים. .
    פקטור הטרינום המרובע המושלם כריבוע בינומי. .
    השתמש במאפיין השורש הריבועי. .
    איננו יכולים לקחת את השורש הריבועי של מספר שלילי. אין פתרון אמיתי.
    דוגמא \(\PageIndex{20}\)

    לפתור \(y^2−10y=−35\) על ידי השלמת הכיכר.

    תשובה

    אין פתרון אמיתי

    דוגמא \(\PageIndex{21}\)

    לפתור \(z^2+8z=−19\) על ידי השלמת הכיכר.

    תשובה

    אין פתרון אמיתי

    בדוגמה הקודמת, לא היה פתרון אמיתי כי \((x+k)^2\) was equal to a negative number.

    דוגמא \(\PageIndex{22}\)

    לפתור \(p^2−18p=−6\) על ידי השלמת הכיכר.

    תשובה
    המונחים המשתנים נמצאים בצד שמאל. .
    קח חצי מ -18 וריבוע אותו. \((\frac{1}{2}(−18))^2=81\) .
    הוסף 81 לשני הצדדים. .
    פקטור הטרינום המרובע המושלם כריבוע בינומי. .
    השתמש במאפיין השורש הריבועי. .
    לפשט את הרדיקלי. .
    לפתור עבור p. .
    כתוב מחדש כדי להציג שני פתרונות. .

    בדוק.
    .

    		  

    דרך נוספת לבדוק זאת תהיה להשתמש במחשבון. הערך \(p^2−18p\) עבור שני הפתרונות. התשובה צריכה להיות -6.

    דוגמא \(\PageIndex{23}\)

    לפתור \(x^2−16x=−16\) על ידי השלמת הכיכר.

    תשובה

    \(x=8\pm4\sqrt{3}\)

    דוגמא \(\PageIndex{24}\)

    לפתור \(y^2+8y=11\) על ידי השלמת הכיכר.

    תשובה

    \(y=−4\pm3\sqrt{3}\)

    נתחיל בדוגמה הבאה בבידוד המונחים המשתנים בצד שמאל של המשוואה.

    דוגמא \(\PageIndex{25}\)

    לפתור \(x^2+10x+4=15\) על ידי השלמת הכיכר.

    תשובה
    המונחים המשתנים נמצאים בצד שמאל. .
    הפחת 4 כדי לקבל את התנאים הקבועים בצד ימין. .

    קח חצי של 10 וריבוע אותו. \((\frac{1}{2}(10))^2=25\)    		 .
    הוסף 25 לשני הצדדים. .
    פקטור הטרינום המרובע המושלם כריבוע בינומי. .
    השתמש במאפיין השורש הריבועי. .
    לפשט את הרדיקלי. דוגמה10.22.jpg
    לפתור עבור x. .
    כתוב מחדש כדי להציג שתי משוואות. .
    לפתור את המשוואות. .

    בדוק.
    .

    		  
    דוגמא \(\PageIndex{26}\)

    לפתור \(a^2+4a+9=30\) על ידי השלמת הכיכר.

    תשובה

    \(a=−7\), \(a=3\)

    דוגמא \(\PageIndex{27}\)

    לפתור \(b^2+8b−4=16\) by completing the square.

    תשובה

    \(b=−10\), \(b=2\)

    כדי לפתור את המשוואה הבאה, עלינו לאסוף תחילה את כל מונחי המשתנים לצד שמאל של המשוואה. לאחר מכן, אנו ממשיכים כפי שעשינו בדוגמאות הקודמות.

    דוגמא \(\PageIndex{28}\)

    לפתור \(n^2=3n+11\) על ידי השלמת הכיכר.

    תשובה
      .
    הפחת 3 n כדי לקבל את המונחים המשתנים בצד שמאל. .
    קח חצי מ -3 וריבוע אותו. \((\frac{1}{2}(−3))^2= \frac{9}{4}\) .
    הוסף \(\frac{9}{4}\) לשני הצדדים. .
    פקטור הטרינום המרובע המושלם כריבוע בינומי. .
    הוסף את השברים בצד ימין. .
    השתמש במאפיין השורש הריבועי. .
    לפשט את הרדיקלי. .
    לפתור עבור n. דוגמה10.23.JPG
    כתוב מחדש כדי להציג שתי משוואות. .
    בדוק. אנו משאירים את הצ'ק עבורך!  
    דוגמא \(\PageIndex{29}\)

    לפתור \(p^2=5p+9\) על ידי השלמת הכיכר.

    תשובה

    \(p=\frac{5}{2}\pm\frac{\sqrt{61}}{2}\)

    דוגמא \(\PageIndex{30}\)

    לפתור \(q^2=7q−3\) by completing the square.

    תשובה

    \(q=\frac{7}{2}\pm\frac{\sqrt{37}}{2}\)

    שימו לב שהצד השמאלי של המשוואה הבאה נמצא בצורה מובאת בחשבון. אך הצד הימני אינו אפס, ולכן איננו יכולים להשתמש במאפיין אפס המוצר. במקום זאת, אנו מכפילים את הגורמים ואז מכניסים את המשוואה לצורה הסטנדרטית לפתרון על ידי השלמת הריבוע.

    דוגמא \(\PageIndex{31}\)

    לפתור \((x−3)(x+5)=9\) על ידי השלמת הכיכר.

    תשובה
      .
    אנחנו מכפילים בינומים בצד שמאל. .
    הוסף 15 כדי לקבל את המונחים המשתנים בצד שמאל. .

    קח חצי מ -2 וריבוע אותו. \((\frac{1}{2}(2))^2=1\)    		 .
    הוסף 1 לשני הצדדים. .
    פקטור הטרינום המרובע המושלם כריבוע בינומי. .
    השתמש במאפיין השורש הריבועי. .
    לפתור עבור x. .
    כתוב מחדש כדי להציג שני פתרונות. .
    לפשט. .
    בדוק. אנו משאירים את הצ'ק עבורך!  
    דוגמא \(\PageIndex{32}\)

    לפתור \((c−2)(c+8)=7\) על ידי השלמת הכיכר.

    תשובה

    \(c=−3\pm4\sqrt{2}\)

    דוגמא \(\PageIndex{33}\)

    לפתור \((d−7)(d+3)=56\) על ידי השלמת הכיכר.

    תשובה

    \(d=−7\), \(d=11\)

    לפתור משוואות ריבועיות של הטופס \( ax^2 + bx + c = 0\) על ידי השלמת הריבוע

    תהליך השלמת הריבוע עובד בצורה הטובה ביותר כאשר המקדם המוביל הוא אחד, כך שהצד השמאלי של המשוואה הוא מהצורה\(x^2+bx+c\). אם \(x^2\) למונח יש מקדם, אנו נוקטים כמה צעדים ראשוניים בכדי להפוך את המקדם לשווה לאחד.

    לפעמים ניתן לקחת בחשבון את המקדם מכל שלושת המונחים של הטרינום. זו תהיה האסטרטגיה שלנו בדוגמה הבאה.

    דוגמא \(\PageIndex{34}\)

    לפתור \(3x^2−12x−15=0\) על ידי השלמת הכיכר.

    תשובה

    כדי להשלים את הכיכר, אנחנו צריכים את המקדם של \(x^2\) להיות אחד. אם ניקח בחשבון את המקדם של \(x^2\) כגורם משותף, נוכל להמשיך בפתרון המשוואה על ידי השלמת הריבוע.

      .
    קבע את הגורם המשותף הגדול ביותר. .
    מחלקים את שני הצדדים ב -3 כדי לבודד את הטרינום. .
    לפשט. .
    הפחת 5 כדי לקבל את התנאים הקבועים בצד ימין. .

    קח חצי מ -4 וריבוע אותו. \((\frac{1}{2}(4))^2=4\)    		 .
    הוסף 4 לשני הצדדים. .
    פקטור הטרינום המרובע המושלם כריבוע בינומי. .
    השתמש במאפיין השורש הריבועי. .
    לפתור עבור x. .
    כתוב מחדש כדי להציג 2 פתרונות. .
    לפשט. .

    בדוק.
    .

    		  
    דוגמא \(\PageIndex{35}\)

    לפתור \(2m^2+16m−8=0\) על ידי השלמת הכיכר.

    תשובה

    \(m=−4\pm2\sqrt{5}\)

    דוגמא \(\PageIndex{36}\)

    לפתור \(4n^2−24n−56=8\) על ידי השלמת הכיכר.

    תשובה

    \(n=−2, 8\)

    כדי להשלים את הריבוע, המקדם המוביל חייב להיות אחד. כאשר המקדם המוביל אינו גורם לכל המונחים, נחלק את שני צידי המשוואה במקדם המוביל. זה ייתן לנו שבריר עבור המקדם השני. כבר ראינו כיצד להשלים את הכיכר עם שברים בחלק זה.

    דוגמא \(\PageIndex{37}\)

    לפתור \(2x^2−3x=20\) על ידי השלמת הכיכר.

    תשובה

    שוב, הצעד הראשון שלנו יהיה להפוך את המקדם \(x^2\) להיות אחד. על ידי חלוקת שני צידי המשוואה במקדם של\(x^2\), נוכל להמשיך בפתרון המשוואה על ידי השלמת הריבוע.

      .
    מחלקים את שני הצדדים ב -2 כדי לקבל את המקדם של \(x^2\) להיות 1. .
    לפשט. .

    קח חצי \(−\frac{3}{2}\) מרובע אותו. \((\frac{1}{2}(−\frac{3}{2}))^2=\frac{9}{16}\)    		 .
    הוסף \(\frac{9}{16}\) לשני הצדדים. .
    פקטור הטרינום המרובע המושלם כריבוע בינומי. .
    הוסף את השברים בצד ימין. .
    השתמש במאפיין השורש הריבועי. .
    לפשט את הרדיקלי. .
    לפתור עבור x. .
    כתוב מחדש כדי להציג 2 פתרונות. .
    לפשט. .
    בדוק. אנו משאירים את הצ'ק עבורך.  
    דוגמא \(\PageIndex{38}\)

    לפתור \(3r^2−2r=21\) על ידי השלמת הכיכר.

    תשובה

    \(r=−\frac{7}{3}\), \(r=3\)

    דוגמא \(\PageIndex{39}\)

    לפתור \(4t^2+2t=20\) על ידי השלמת הכיכר.

    תשובה

    \(t=−\frac{5}{2}\), \(t=2\)

    דוגמא \(\PageIndex{40}\)

    לפתור \(3x^2+2x=4\) על ידי השלמת הכיכר.

    תשובה

    שוב, הצעד הראשון שלנו יהיה להפוך את המקדם \(x^2\) להיות אחד. על ידי חלוקת שני צידי המשוואה במקדם של\(x^2\), נוכל להמשיך בפתרון המשוואה על ידי השלמת הריבוע.

      .
    מחלקים את שני הצדדים ב -3 כדי להפוך את המקדם \(x^2\) לשווה 1. .
    לפשט. .

    קח חצי \(\frac{2}{3}\) מרובע אותו. \((\frac{1}{2}⋅\frac{2}{3})^2=\frac{1}{9}\)

    		 .
    הוסף \(\frac{1}{9}\) לשני הצדדים. .
    פקטור הטרינום המרובע המושלם כריבוע בינומי. .
    השתמש במאפיין השורש הריבועי. .
    לפשט את הרדיקלי. .
    לפתור עבור x. .
    כתוב מחדש כדי להציג 2 פתרונות. .
    בדוק. אנו משאירים את הצ'ק עבורך. ​​​​​​​
    דוגמא \(\PageIndex{41}\)

    לפתור \(4x^2+3x=12\) על ידי השלמת הכיכר.

    תשובה

    \(x=−\frac{3}{8}\pm\frac{\sqrt{201}}{8}\)

    דוגמא \(\PageIndex{42}\)

    לפתור \(5y^2+3y=10\) על ידי השלמת הכיכר.

    תשובה

    \(y=−\frac{3}{10}\pm\frac{\sqrt{209}}{10}\)

    גש למשאבים מקוונים אלה להדרכה ותרגול נוספים עם פתרון משוואות ריבועיות על ידי השלמת הריבוע:

    מושגי מפתח

    • תבנית ריבועים בינומיים אם a, ba, b הם מספרים ממשיים,
      \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)
      alt
      \((a−b)^2=a^2−2ab+b^2\)
      alt
    • השלם ריבוע
      כדי להשלים את הריבוע של\(x^2+bx\):
      1. זהה bb, המקדם של x.
      2. מצא\((\frac{1}{2}b)^2\), את המספר כדי להשלים את הריבוע.
      3. הוסף את \((\frac{1}{2}b)^2\) ל\(x^2+bx\).

    רשימת מילים

    השלמת הכיכר
    השלמת הריבוע היא שיטה המשמשת לפתרון משוואות ריבועיות.