Skip to main content
Global

10.1: לפתור משוואות ריבועיות באמצעות מאפיין השורש הריבועי

  • Page ID
    205550
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    מטרות למידה

    בסוף פרק זה תוכל:

    • פתור משוואות ריבועיות של הטופס \(ax^2=k\) באמצעות מאפיין השורש הריבועי
    • פתור משוואות ריבועיות של הטופס \(a(x−h)^2=k\) באמצעות מאפיין השורש הריבועי
    לפני שתתחיל, קח את חידון המוכנות הזה.
    1. פשט:\(\sqrt{75}\).
    2. פשט: \(\sqrt{\dfrac{64}{3}}\)
    3. גורם:\(4x^{2} − 12x + 9\).

    משוואות ריבועיות הן משוואות של הצורה\(ax^{2} + bx + c = 0\), היכן\(a \neq 0\). הם נבדלים ממשוואות לינאריות על ידי הכללת מונח עם המשתנה שהועלה לכוח השני. אנו משתמשים בשיטות שונות כדי לפתור משוואות ריבועיות s מאשר משוואות לינאריות, מכיוון שרק הוספה, חיסור, הכפלה וחלוקה של מונחים לא תבודד את המשתנה.

    ראינו שניתן לפתור כמה משוואות ריבועיות על ידי פקטורינג. בפרק זה נשתמש בשלוש שיטות נוספות לפתרון משוואות ריבועיות.

    פתור משוואות ריבועיות של הטופס \(ax^2=k\) באמצעות מאפיין השורש הריבועי

    כבר פתרנו כמה משוואות ריבועיות על ידי פקטורינג. בואו נסקור כיצד השתמשנו בפקטורינג כדי לפתור את המשוואה הריבועית. \(x^{2} = 9\)

    \[\begin{array}{ll} {}&{x^2=9}\\ {\text{Put the equation in standard form.}}&{x^2−9=0}\\ {\text{Factor the left side.}}&{(x - 3)(x + 3) = 0}\\ {\text{Use the Zero Product Property.}}&{(x - 3) = 0, (x + 3) = 0}\\ {\text{Solve each equation.}}&{x = 3, x = -3}\\ {\text{Combine the two solutions into} \pm \text{form}}&{x=\pm 3}\\ \nonumber \end{array}\]

    (הפתרון נקרא \(x\) 'שווה לחיובי או לשלילי')\(3\).

    אנו יכולים להשתמש בפקטורינג בקלות כדי למצוא את הפתרונות של משוואות דומות, כמו \(x^{2}=16\) ו\(x^{2} = 25\), מכיוון \(16\) שהם ריבועים \(25\) מושלמים. אבל מה קורה כשיש לנו משוואה כמו\(x^{2}=7\)? מכיוון \(7\) שאינו ריבוע מושלם, איננו יכולים לפתור את המשוואה על ידי פקטורינג.

    משוואות אלה הן כולן בצורה\(x^{2}=k\).
    הגדרנו את השורש הריבועי של מספר בדרך זו:

    אם\(n^{2} = m\), אז \(n\) הוא שורש ריבועי של\(m\).

    זה מוביל לנכס השורש הריבועי.

    הגדרה: נכס שורש ריבועי

    אם\(x^{2}=k\), ו\(k \geq 0\), אז \(x = \sqrt{k}\) או\(x = -\sqrt{k}\).

    שימו לב שמאפיין השורש הריבועי נותן שני פתרונות למשוואה של הצורה \(x^2=k\): השורש הריבועי העיקרי של k וההפך שלו. אנחנו יכולים גם לכתוב את הפתרון כ \(x=\pm \sqrt{k}\)

    כעת, נפתור את המשוואה \(x^{2} = 9\) שוב, הפעם באמצעות מאפיין השורש הריבועי.

    \[\begin{array}{ll} {}&{x^{2} = 9}\\ {\text{Use the Square Root Property.}}&{x = \pm\sqrt{9}}\\ {\text{Simplify the radical.}}&{x = \pm 3}\\ {\text{Rewrite to show the two solutions.}}&{x = 3, x = −3}\\ \nonumber \end{array}\]

    מה קורה כאשר הקבוע אינו ריבוע מושלם? בואו נשתמש במאפיין השורש הריבועי כדי לפתור את המשוואה\(x^2=7\).

    \[\begin{array} {ll} {\text{Use the Square Root Property. }}&{x = \pm\sqrt{7}}\\ {\text{Rewrite to show two solutions.}}&{x = \sqrt{7}, x = −\sqrt{7}}\\ {\text{We cannot simplify} \sqrt{7} \text{ so we leave the answer as a radical.}}&{}\\ \nonumber \end{array}\]

    דוגמא \(\PageIndex{1}\)

    לפתור: \(x^{2} = 169\)

    תשובה

    \[\begin{array}{ll} {}&{x^2=169}\\ {\text{Use the Square Root Property.}}&{x=\pm\sqrt{169}}\\ {\text{Simplify the radical.}}&{x = \pm13}\\{\text{Rewrite to show two solutions.}}&{x = 13, x = −13}\\ \nonumber \end{array}\]

    דוגמא \(\PageIndex{2}\)

    לפתור: \(x^2=81\)

    תשובה

    איקס=9, איקס=−9

    דוגמא \(\PageIndex{3}\)

    לפתור: \(y^{2} = 121\)

    תשובה

    y = 11, y = −11

    כיצד לפתור משוואה ריבועית של הטופס \(ax^{2} = k\) באמצעות מאפיין השורש הריבועי

    דוגמא \(\PageIndex{4}\)

    לפתור: \(x^{2} − 48 = 0\)

    תשובה
    התמונה מציגה את המשוואה הנתונה, x בריבוע מינוס 48 שווה לאפס. שלב ראשון הוא לבודד את המונח הריבועי ולהפוך את המקדם שלו לאחד אז הוסף 48 לשני צידי המשוואה כדי לקבל x בריבוע מעצמו.שלב שני הוא להשתמש במאפיין השורש הריבועי כדי לקבל x שווה פלוס מינוס השורש הריבועי של 48.שלב שלישי, פשט את השורש הריבועי של 48 על ידי כתיבת 48 כתוצר של 16 ושלוש. השורש הריבועי של 16 הוא ארבעה. הפתרון הפשוט הוא x שווה פלוס מינוס ארבעה שורש ריבועי של שלושה.שלב רביעי, בדוק את הפתרונות על ידי החלפת כל פתרון במשוואה המקורית. כאשר x שווה ארבעה שורש ריבועי של שלושה, להחליף x במשוואה המקורית עם ארבעה שורש ריבועי של שלושה כדי לקבל ארבעה שורש ריבועי של שלושה בריבוע מינוס 48 שווה אפס. פשט את הצד השמאלי כדי לקבל 16 פעמים שלוש מינוס 48 שווה לאפס מה שמפשט עוד יותר לאפס שווה לאפס, משפט אמיתי. כאשר x שווה לשורש ארבע ריבועי שלילי משלושה, החלף את x במשוואה המקורית בשורש ארבע ריבועי שלילי של שלושה כדי לקבל שורש ריבועי שלילי של שלושה בריבוע מינוס 48 שווה לאפס. פשט את הצד השמאלי כדי לקבל 16 פעמים שלוש מינוס 48 שווה לאפס מה שמפשט עוד יותר לאפס שווה לאפס, גם הצהרה אמיתית.
    דוגמא \(\PageIndex{5}\)

    לפתור: \(x^{2} − 50 = 0\)

    תשובה

    \(x = 5\sqrt{2}, x = −5\sqrt{2}\)

    דוגמא \(\PageIndex{6}\)

    לפתור: \(y^{2} − 27 = 0\)

    תשובה

    \(y = 3\sqrt{3}, x = −3\sqrt{3}\)

    הגדרה:לפתור משוואה ריבועית באמצעות מאפיין השורש הריבועי.
    1. לבודד את המונח הריבועי ולהפוך את מקדם אחד.
    2. השתמש במאפיין שורש מרובע.
    3. לפשט את הרדיקלי.
    4. בדוק את הפתרונות.

    כדי להשתמש במאפיין השורש הריבועי, המקדם של המונח המשתנה חייב להיות שווה ל -1. בדוגמה הבאה עלינו לחלק את שני צידי המשוואה ב- 5 לפני השימוש במאפיין השורש הריבועי.

    דוגמא \(\PageIndex{7}\)

    לפתור: \(5m^2=80\)

    תשובה
    המונח הריבועי מבודד. \(5m^2=80\)
    חלקו ב -5 כדי להכין את ארון הקבורה שלו 1. \(\frac{5m^2}{5}=\frac{80}{5}\)
    לפשט. \(m^2=16\)
    השתמש במאפיין השורש הריבועי. \(m=\pm\sqrt{16}\)
    לפשט את הרדיקלי. \(m=\pm 4\)
    כתוב מחדש כדי להציג שני פתרונות. m = 4, M = −4

    בדוק את הפתרונות.
    .

     
    דוגמא \(\PageIndex{8}\)

    לפתור:\(2x^2=98\).

    תשובה

    איקס=7, איקס=−7

    דוגמא \(\PageIndex{9}\)

    לפתור:\(3z^2=108\).

    תשובה

    ז=6, ז=−6

    נכס השורש הריבועי התחיל בקביעה, 'אם\(x^2=k\), \(k\ge 0\) ו-'. מה יקרה אם\(k<0\)? זה יהיה המקרה בדוגמה הבאה.

    דוגמא \(\PageIndex{10}\)

    לפתור:\(q^2+24=0\).

    תשובה

    \[\begin{array}{ll} {}&{q^2=24}\\ {\text{Isolate the quadratic term.}}&{q^2=−24}\\ {\text{Use the Square Root Property.}}&{q=\pm\sqrt{-24}}\\ {\text{The} \sqrt{-24} \text{is not a real number}}& {\text{There is no real solution}}\\ \nonumber \end{array}\]

    דוגמא \(\PageIndex{11}\)

    לפתור:\(c^2+12=0\).

    תשובה

    אין פתרון אמיתי

    דוגמא \(\PageIndex{12}\)

    לפתור:\(d^2+81=0\).

    תשובה

    אין פתרון אמיתי

    זכור, תחילה אנו מבודדים את המונח הריבועי ואז הופכים את המקדם לשווה לאחד.
    דוגמא \(\PageIndex{13}\)

    לפתור:\(\frac{2}{3}u^2+5=17\).

    תשובה
      \(\frac{2}{3}u^2+5=17\)
    לבודד את המונח הריבועי.

    \(\frac{2}{3}u^2=12\)

    הכפל על ידי \(\frac{3}{2}\) כדי להפוך את המקדם 1. \(\frac{3}{2}·\frac{2}{3}u^2=\frac{3}{2}·12\)
    לפשט. \(u^2=18\)
    השתמש במאפיין השורש הריבועי. \(u=\pm\sqrt{18}\)
    לפשט את הרדיקלי. \(u=\pm\sqrt{9}\sqrt{2}\)
    לפשט. \(u=\pm3\sqrt{2}\)
    כתוב מחדש כדי להציג שני פתרונות. \(u=3\sqrt{2}\), \(u=−3\sqrt{2}\)

    בדוק.
    .

     
    דוגמא \(\PageIndex{14}\)

    לפתור: \(\frac{1}{2}x^2+4=24\)

    תשובה

    \(x=2\sqrt{10}\), \(x=−2\sqrt{10}\)

    דוגמא \(\PageIndex{15}\)

    לפתור:\(\frac{3}{4}y^2−3=18\).

    תשובה

    \(y=2\sqrt{7}\), \(y=−2\sqrt{7}\)

    לפתרונות למשוואות מסוימות עשויים להיות שברים בתוך הרדיקלים. כשזה קורה, עלינו לתרץ את המכנה.

    דוגמא \(\PageIndex{16}\)

    לפתור:\(2c^2−4=45\).

    תשובה
      \(2c^2−4=45\)
    לבודד את המונח הריבועי. \(2c^2=49\)
    מחלקים ב -2 כדי להפוך את המקדם 1. \(\frac{2c^2}{2}=\frac{49}{2}\)
    לפשט. \(c^2=\frac{49}{2}\)
    השתמש במאפיין השורש הריבועי. \(c=\pm\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{2}}\)
    לפשט את הרדיקלי. \(c=\pm\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{2}}\)
    רציונליזציה של המכנה. \(c=\pm\frac{\sqrt{49}\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{2}}\)
    לפשט. \(c=\pm\frac{7\sqrt{2}}{2}\)
    כתוב מחדש כדי להציג שני פתרונות. \(c=\frac{7\sqrt{2}}{2}\), \(c=−\frac{7\sqrt{2}}{2}\)
    בדוק. אנו משאירים את הצ'ק עבורך.  
    דוגמא \(\PageIndex{17}\)

    לפתור:\(5r^2−2=34\).

    תשובה

    \(r=\frac{6\sqrt{5}}{5}\), \(r=−\frac{6\sqrt{5}}{5}\)

    דוגמא \(\PageIndex{18}\)

    לפתור:\(3t^2+6=70\).

    תשובה

    \(t=\frac{8\sqrt{3}}{3}\), \(t=−\frac{8\sqrt{3}}{3}\)

    פתור משוואות ריבועיות של הטופס \(a(x-h)^2=k\) באמצעות מאפיין השורש הריבועי

    אנו יכולים להשתמש במאפיין השורש הריבועי כדי לפתור גם משוואה כמו\((x−3)^2=16\). נתייחס לכל הבינום, (איקס-3), כאל המונח הריבועי.

    דוגמא \(\PageIndex{19}\)

    לפתור:\((x−3)^2=16\).

    תשובה
      \((x−3)^2=16\)
    השתמש במאפיין השורש הריבועי. \(x−3=\pm\sqrt{16}\)
    לפשט. \(x−3=\pm 4\)
    כתוב כשתי משוואות. \(x−3=4\), \(x−3=−4\)
    לפתור. איקס=7, איקס=−1

    בדוק.
    .

     
    דוגמא \(\PageIndex{20}\)

    לפתור:\((q+5)^2=1\).

    תשובה

    ש=−6, ש=−4

    דוגמא \(\PageIndex{21}\)

    לפתור:\((r−3)^2=25\).

    תשובה

    ר=8, ר=−2

    דוגמא \(\PageIndex{22}\)

    לפתור:\((y−7)^2=12\).

    תשובה
      \((y−7)^2=12\).
    השתמש במאפיין השורש הריבועי. \(y−7=\pm\sqrt{12}\)
    לפשט את הרדיקלי. \(y−7=\pm2\sqrt{3}\)
    לפתור עבור y. \(y=7\pm2\sqrt{3}\)
    כתוב מחדש כדי להציג שני פתרונות. \(y=7+2\sqrt{3}\), \(y=7−2\sqrt{3}\)

    בדוק.
    .

     
    דוגמא \(\PageIndex{23}\)

    לפתור:\((a−3)^2=18\).

    תשובה

    \(a=3+3\sqrt{2}\), \(a=3−3\sqrt{2}\)

    דוגמא \(\PageIndex{24}\)

    לפתור:\((b+2)^2=40\).

    תשובה

    \(b=−2+2\sqrt{10}\), \(b=−2−2\sqrt{10}\)

    זכרו, כאשר אנו לוקחים את השורש הריבועי של שבר, אנו יכולים לקחת את השורש הריבועי של המונה והמכנה בנפרד.
    דוגמא \(\PageIndex{25}\)

    לפתור:\((x−\frac{1}{2})^2=\frac{5}{4}\).

    תשובה
      \((x−\frac{1}{2})^2=\frac{5}{4}\)
    השתמש במאפיין השורש הריבועי. \((x−\frac{1}{2})=\pm\sqrt\frac{5}{4}\)
    כתוב מחדש את הרדיקל כשבריר של שורשים מרובעים. \((x−\frac{1}{2})=\pm\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{4}}\)
    לפשט את הרדיקלי. \((x−\frac{1}{2})=\pm\frac{\sqrt{5}}{2}\)
    לפתור עבור x. \(x=\frac{1}{2}+\pm\frac{\sqrt{5}}{2}\)
    כתוב מחדש כדי להציג שני פתרונות. \(x=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}\), \(x=\frac{1}{2}−\frac{\sqrt{5}}{2}\)
    בדוק. אנו משאירים את הצ'ק עבורך  
    ​​​​​​
    דוגמא \(\PageIndex{26}\)

    לפתור:\((x−\frac{1}{3})^2=\frac{5}{9}\).

    תשובה

    \(x=\frac{1}{3}+\frac{\sqrt{5}}{3}\), \(x=\frac{1}{3}−\frac{\sqrt{5}}{3}\)

    דוגמא \(\PageIndex{27}\)

    לפתור:\((y−\frac{3}{4})^2=\frac{7}{16}\).

    תשובה

    \(y=\frac{3}{4}+\frac{\sqrt{7}}{4}\)\(y=\frac{3}{4}−\frac{\sqrt{7}}{4}\),

    נתחיל את הפתרון לדוגמה הבאה על ידי בידוד הבינומי.

    דוגמא \(\PageIndex{28}\)

    לפתור:\((x−2)^2+3=30\).

    תשובה
      \((x−2)^2+3=30\)
    לבודד את המונח הבינומי. \((x−2)^2=27\)
    השתמש במאפיין השורש הריבועי. \(x−2=\pm\sqrt{27}\)
    לפשט את הרדיקלי. \(x−2=\pm3\sqrt{3}\)
    לפתור עבור x. \(x=2+\pm3\sqrt{3}\)
    \(x−2=\pm3\sqrt{3}\) \(x=2+3\sqrt{3}\), \(x=2−3\sqrt{3}\)
    בדוק. אנו משאירים את הצ'ק עבורך  
    דוגמא \(\PageIndex{29}\)

    לפתור:\((a−5)^2+4=24\).

    תשובה

    \(a=5+2\sqrt{5}\), \(a=5−2\sqrt{5}\)

    דוגמא \(\PageIndex{30}\)

    לפתור:\((b−3)^2−8=24\).

    תשובה

    \(b=3+4\sqrt{2}\), \(b=3−4\sqrt{2}\)

    דוגמא \(\PageIndex{31}\)

    לפתור:\((3v−7)^2=−12\).

    תשובה
      \((3v−7)^2=−12\)
    השתמש במאפיין השורש הריבועי. \(3v−7=\pm\sqrt{−12}\)
    \(\sqrt{−12}\)זה לא מספר אמיתי. אין פתרון אמיתי.
    דוגמא \(\PageIndex{32}\)

    לפתור:\((3r+4)^2=−8\).

    תשובה

    אין פתרון אמיתי

    נראה כי הצד השמאלי של המשוואות בשתי הדוגמאות הבאות אינו מהצורה\(a(x−h)^2\). אבל הם טרינומים מרובעים מושלמים, ולכן אנו נביא בחשבון לשים אותם בצורה שאנחנו צריכים.

    דוגמא \(\PageIndex{33}\)

    לפתור:\(p^2−10p+25=18\).

    תשובה

    הצד השמאלי של המשוואה הוא טרינום מרובע מושלם. אנו נביא את זה קודם.

      \(p^2−10p+25=18\)
    פקטור הטרינום המרובע המושלם. \((p−5)^2=18\)
    השתמש במאפיין השורש הריבועי. \(p−5=\pm\sqrt{18}\)
    לפשט את הרדיקלי. \(p−5=\pm3\sqrt{2}\)
    לפתור עבור p. \(p=5\pm3\sqrt{2}\)
    כתוב מחדש כדי להציג שני פתרונות. \(p=5+3\sqrt{2}\), \(p=5−3\sqrt{2}\)
    בדוק. אנו משאירים את הצ'ק עבורך.  
    דוגמא \(\PageIndex{34}\)

    לפתור:\(x^2−6x+9=12\).

    תשובה

    \(x=3+2\sqrt{3}\), \(x=3−2\sqrt{3}\)

    דוגמא \(\PageIndex{35}\)

    לפתור:\(y^2+12y+36=32\).

    תשובה

    \(y=−6+4\sqrt{2}\), \(y=−6−4\sqrt{2}\)

    דוגמא \(\PageIndex{36}\)

    לפתור:\(4n^2+4n+1=16\).

    תשובה

    שוב, אנו מבחינים שהצד השמאלי של המשוואה הוא טרינום מרובע מושלם. אנו נביא את זה קודם.

      \(4n^2+4n+1=16\)
    פקטור הטרינום המרובע המושלם. \((2n+1)^2=16\)
    השתמש במאפיין השורש הריבועי. \((2n+1)=\pm\sqrt{16}\)
    לפשט את הרדיקלי. \((2n+1)=\pm4\)
    לפתור עבור n. \(2n=−1\pm4\)
    מחלקים כל צד ב -2.

    \(\frac{2n}{2}=\frac{−1\pm4}{2}\)

    \(n=\frac{−1\pm4}{2}\)

    כתוב מחדש כדי להציג שני פתרונות. \(n=\frac{−1+4}{2}\), \(n=\frac{−1−4}{2}\)
    פשט כל משוואה. \(n=\frac{3}{2}\), \(n=−\frac{5}{2}\)

    בדוק.
    .

     
    דוגמא \(\PageIndex{37}\)

    לפתור:\(9m^2−12m+4=25\).

    תשובה

    \(m=\frac{7}{3}\), \(m=−1\)

    דוגמא \(\PageIndex{38}\)

    לפתור:\(16n^2+40n+25=4\).

    תשובה

    \(n=−\frac{3}{4}\), \(n=−\frac{7}{4}\)

    גש למשאבים מקוונים אלה להדרכה ותרגול נוספים עם פתרון משוואות ריבועיות:

    מושגי מפתח

    • נכס שורש ריבועי
      אם \(x^2=k\)\(k\ge 0\), ולאחר מכן \(x=\sqrt{k}\) או\(x=−\sqrt{k}\).

    רשימת מילים

    משוואה ריבועית
    משוואה ריבועית היא משוואה של הצורה \(ax^2+bx+c=0\) שבה\(a \ne 0\).
    נכס שורש מרובע
    נכס השורש הריבועי קובע כי, אם\(x^2=k\), ו\(k\ge 0\), אז \(x=\sqrt{k}\) או\(x=−\sqrt{k}\).