10.1: לפתור משוואות ריבועיות באמצעות מאפיין השורש הריבועי
- Page ID
- 205550
בסוף פרק זה תוכל:
- פתור משוואות ריבועיות של הטופס \(ax^2=k\) באמצעות מאפיין השורש הריבועי
- פתור משוואות ריבועיות של הטופס \(a(x−h)^2=k\) באמצעות מאפיין השורש הריבועי
- פשט:\(\sqrt{75}\).
- פשט: \(\sqrt{\dfrac{64}{3}}\)
- גורם:\(4x^{2} − 12x + 9\).
משוואות ריבועיות הן משוואות של הצורה\(ax^{2} + bx + c = 0\), היכן\(a \neq 0\). הם נבדלים ממשוואות לינאריות על ידי הכללת מונח עם המשתנה שהועלה לכוח השני. אנו משתמשים בשיטות שונות כדי לפתור משוואות ריבועיות s מאשר משוואות לינאריות, מכיוון שרק הוספה, חיסור, הכפלה וחלוקה של מונחים לא תבודד את המשתנה.
ראינו שניתן לפתור כמה משוואות ריבועיות על ידי פקטורינג. בפרק זה נשתמש בשלוש שיטות נוספות לפתרון משוואות ריבועיות.
פתור משוואות ריבועיות של הטופס \(ax^2=k\) באמצעות מאפיין השורש הריבועי
כבר פתרנו כמה משוואות ריבועיות על ידי פקטורינג. בואו נסקור כיצד השתמשנו בפקטורינג כדי לפתור את המשוואה הריבועית. \(x^{2} = 9\)
\[\begin{array}{ll} {}&{x^2=9}\\ {\text{Put the equation in standard form.}}&{x^2−9=0}\\ {\text{Factor the left side.}}&{(x - 3)(x + 3) = 0}\\ {\text{Use the Zero Product Property.}}&{(x - 3) = 0, (x + 3) = 0}\\ {\text{Solve each equation.}}&{x = 3, x = -3}\\ {\text{Combine the two solutions into} \pm \text{form}}&{x=\pm 3}\\ \nonumber \end{array}\]
(הפתרון נקרא \(x\) 'שווה לחיובי או לשלילי')\(3\).
אנו יכולים להשתמש בפקטורינג בקלות כדי למצוא את הפתרונות של משוואות דומות, כמו \(x^{2}=16\) ו\(x^{2} = 25\), מכיוון \(16\) שהם ריבועים \(25\) מושלמים. אבל מה קורה כשיש לנו משוואה כמו\(x^{2}=7\)? מכיוון \(7\) שאינו ריבוע מושלם, איננו יכולים לפתור את המשוואה על ידי פקטורינג.
משוואות אלה הן כולן בצורה\(x^{2}=k\).
הגדרנו את השורש הריבועי של מספר בדרך זו:
אם\(n^{2} = m\), אז \(n\) הוא שורש ריבועי של\(m\).
זה מוביל לנכס השורש הריבועי.
אם\(x^{2}=k\), ו\(k \geq 0\), אז \(x = \sqrt{k}\) או\(x = -\sqrt{k}\).
שימו לב שמאפיין השורש הריבועי נותן שני פתרונות למשוואה של הצורה \(x^2=k\): השורש הריבועי העיקרי של k וההפך שלו. אנחנו יכולים גם לכתוב את הפתרון כ \(x=\pm \sqrt{k}\)
כעת, נפתור את המשוואה \(x^{2} = 9\) שוב, הפעם באמצעות מאפיין השורש הריבועי.
\[\begin{array}{ll} {}&{x^{2} = 9}\\ {\text{Use the Square Root Property.}}&{x = \pm\sqrt{9}}\\ {\text{Simplify the radical.}}&{x = \pm 3}\\ {\text{Rewrite to show the two solutions.}}&{x = 3, x = −3}\\ \nonumber \end{array}\]
מה קורה כאשר הקבוע אינו ריבוע מושלם? בואו נשתמש במאפיין השורש הריבועי כדי לפתור את המשוואה\(x^2=7\).
\[\begin{array} {ll} {\text{Use the Square Root Property. }}&{x = \pm\sqrt{7}}\\ {\text{Rewrite to show two solutions.}}&{x = \sqrt{7}, x = −\sqrt{7}}\\ {\text{We cannot simplify} \sqrt{7} \text{ so we leave the answer as a radical.}}&{}\\ \nonumber \end{array}\]
לפתור: \(x^{2} = 169\)
- תשובה
-
\[\begin{array}{ll} {}&{x^2=169}\\ {\text{Use the Square Root Property.}}&{x=\pm\sqrt{169}}\\ {\text{Simplify the radical.}}&{x = \pm13}\\{\text{Rewrite to show two solutions.}}&{x = 13, x = −13}\\ \nonumber \end{array}\]
לפתור: \(x^2=81\)
- תשובה
-
איקס=9, איקס=−9
לפתור: \(y^{2} = 121\)
- תשובה
-
y = 11, y = −11
כיצד לפתור משוואה ריבועית של הטופס \(ax^{2} = k\) באמצעות מאפיין השורש הריבועי
לפתור: \(x^{2} − 48 = 0\)
- תשובה
לפתור: \(x^{2} − 50 = 0\)
- תשובה
-
\(x = 5\sqrt{2}, x = −5\sqrt{2}\)
לפתור: \(y^{2} − 27 = 0\)
- תשובה
-
\(y = 3\sqrt{3}, x = −3\sqrt{3}\)
- לבודד את המונח הריבועי ולהפוך את מקדם אחד.
- השתמש במאפיין שורש מרובע.
- לפשט את הרדיקלי.
- בדוק את הפתרונות.
כדי להשתמש במאפיין השורש הריבועי, המקדם של המונח המשתנה חייב להיות שווה ל -1. בדוגמה הבאה עלינו לחלק את שני צידי המשוואה ב- 5 לפני השימוש במאפיין השורש הריבועי.
לפתור: \(5m^2=80\)
- תשובה
-
המונח הריבועי מבודד. \(5m^2=80\) חלקו ב -5 כדי להכין את ארון הקבורה שלו 1. \(\frac{5m^2}{5}=\frac{80}{5}\) לפשט. \(m^2=16\) השתמש במאפיין השורש הריבועי. \(m=\pm\sqrt{16}\) לפשט את הרדיקלי. \(m=\pm 4\) כתוב מחדש כדי להציג שני פתרונות. m = 4, M = −4 בדוק את הפתרונות.
לפתור:\(2x^2=98\).
- תשובה
-
איקס=7, איקס=−7
לפתור:\(3z^2=108\).
- תשובה
-
ז=6, ז=−6
נכס השורש הריבועי התחיל בקביעה, 'אם\(x^2=k\), \(k\ge 0\) ו-'. מה יקרה אם\(k<0\)? זה יהיה המקרה בדוגמה הבאה.
לפתור:\(q^2+24=0\).
- תשובה
-
\[\begin{array}{ll} {}&{q^2=24}\\ {\text{Isolate the quadratic term.}}&{q^2=−24}\\ {\text{Use the Square Root Property.}}&{q=\pm\sqrt{-24}}\\ {\text{The} \sqrt{-24} \text{is not a real number}}& {\text{There is no real solution}}\\ \nonumber \end{array}\]
לפתור:\(c^2+12=0\).
- תשובה
-
אין פתרון אמיתי
לפתור:\(d^2+81=0\).
- תשובה
-
אין פתרון אמיתי
לפתור:\(\frac{2}{3}u^2+5=17\).
- תשובה
-
\(\frac{2}{3}u^2+5=17\) לבודד את המונח הריבועי. \(\frac{2}{3}u^2=12\)
הכפל על ידי \(\frac{3}{2}\) כדי להפוך את המקדם 1. \(\frac{3}{2}·\frac{2}{3}u^2=\frac{3}{2}·12\) לפשט. \(u^2=18\) השתמש במאפיין השורש הריבועי. \(u=\pm\sqrt{18}\) לפשט את הרדיקלי. \(u=\pm\sqrt{9}\sqrt{2}\) לפשט. \(u=\pm3\sqrt{2}\) כתוב מחדש כדי להציג שני פתרונות. \(u=3\sqrt{2}\), \(u=−3\sqrt{2}\) בדוק.
לפתור: \(\frac{1}{2}x^2+4=24\)
- תשובה
-
\(x=2\sqrt{10}\), \(x=−2\sqrt{10}\)
לפתור:\(\frac{3}{4}y^2−3=18\).
- תשובה
-
\(y=2\sqrt{7}\), \(y=−2\sqrt{7}\)
לפתרונות למשוואות מסוימות עשויים להיות שברים בתוך הרדיקלים. כשזה קורה, עלינו לתרץ את המכנה.
לפתור:\(2c^2−4=45\).
- תשובה
-
\(2c^2−4=45\) לבודד את המונח הריבועי. \(2c^2=49\) מחלקים ב -2 כדי להפוך את המקדם 1. \(\frac{2c^2}{2}=\frac{49}{2}\) לפשט. \(c^2=\frac{49}{2}\) השתמש במאפיין השורש הריבועי. \(c=\pm\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{2}}\) לפשט את הרדיקלי. \(c=\pm\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{2}}\) רציונליזציה של המכנה. \(c=\pm\frac{\sqrt{49}\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{2}}\) לפשט. \(c=\pm\frac{7\sqrt{2}}{2}\) כתוב מחדש כדי להציג שני פתרונות. \(c=\frac{7\sqrt{2}}{2}\), \(c=−\frac{7\sqrt{2}}{2}\) בדוק. אנו משאירים את הצ'ק עבורך.
לפתור:\(5r^2−2=34\).
- תשובה
-
\(r=\frac{6\sqrt{5}}{5}\), \(r=−\frac{6\sqrt{5}}{5}\)
לפתור:\(3t^2+6=70\).
- תשובה
-
\(t=\frac{8\sqrt{3}}{3}\), \(t=−\frac{8\sqrt{3}}{3}\)
פתור משוואות ריבועיות של הטופס \(a(x-h)^2=k\) באמצעות מאפיין השורש הריבועי
אנו יכולים להשתמש במאפיין השורש הריבועי כדי לפתור גם משוואה כמו\((x−3)^2=16\). נתייחס לכל הבינום, (איקס-3), כאל המונח הריבועי.
לפתור:\((x−3)^2=16\).
- תשובה
-
\((x−3)^2=16\) השתמש במאפיין השורש הריבועי. \(x−3=\pm\sqrt{16}\) לפשט. \(x−3=\pm 4\) כתוב כשתי משוואות. \(x−3=4\), \(x−3=−4\) לפתור. איקס=7, איקס=−1 בדוק.
לפתור:\((q+5)^2=1\).
- תשובה
-
ש=−6, ש=−4
לפתור:\((r−3)^2=25\).
- תשובה
-
ר=8, ר=−2
לפתור:\((y−7)^2=12\).
- תשובה
-
\((y−7)^2=12\). השתמש במאפיין השורש הריבועי. \(y−7=\pm\sqrt{12}\) לפשט את הרדיקלי. \(y−7=\pm2\sqrt{3}\) לפתור עבור y. \(y=7\pm2\sqrt{3}\) כתוב מחדש כדי להציג שני פתרונות. \(y=7+2\sqrt{3}\), \(y=7−2\sqrt{3}\) בדוק.
לפתור:\((a−3)^2=18\).
- תשובה
-
\(a=3+3\sqrt{2}\), \(a=3−3\sqrt{2}\)
לפתור:\((b+2)^2=40\).
- תשובה
-
\(b=−2+2\sqrt{10}\), \(b=−2−2\sqrt{10}\)
לפתור:\((x−\frac{1}{2})^2=\frac{5}{4}\).
- תשובה
-
\((x−\frac{1}{2})^2=\frac{5}{4}\) השתמש במאפיין השורש הריבועי. \((x−\frac{1}{2})=\pm\sqrt\frac{5}{4}\) כתוב מחדש את הרדיקל כשבריר של שורשים מרובעים. \((x−\frac{1}{2})=\pm\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{4}}\) לפשט את הרדיקלי. \((x−\frac{1}{2})=\pm\frac{\sqrt{5}}{2}\) לפתור עבור x. \(x=\frac{1}{2}+\pm\frac{\sqrt{5}}{2}\) כתוב מחדש כדי להציג שני פתרונות. \(x=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}\), \(x=\frac{1}{2}−\frac{\sqrt{5}}{2}\) בדוק. אנו משאירים את הצ'ק עבורך
לפתור:\((x−\frac{1}{3})^2=\frac{5}{9}\).
- תשובה
-
\(x=\frac{1}{3}+\frac{\sqrt{5}}{3}\), \(x=\frac{1}{3}−\frac{\sqrt{5}}{3}\)
לפתור:\((y−\frac{3}{4})^2=\frac{7}{16}\).
- תשובה
-
\(y=\frac{3}{4}+\frac{\sqrt{7}}{4}\)\(y=\frac{3}{4}−\frac{\sqrt{7}}{4}\),
נתחיל את הפתרון לדוגמה הבאה על ידי בידוד הבינומי.
לפתור:\((x−2)^2+3=30\).
- תשובה
-
\((x−2)^2+3=30\) לבודד את המונח הבינומי. \((x−2)^2=27\) השתמש במאפיין השורש הריבועי. \(x−2=\pm\sqrt{27}\) לפשט את הרדיקלי. \(x−2=\pm3\sqrt{3}\) לפתור עבור x. \(x=2+\pm3\sqrt{3}\) \(x−2=\pm3\sqrt{3}\) \(x=2+3\sqrt{3}\), \(x=2−3\sqrt{3}\) בדוק. אנו משאירים את הצ'ק עבורך
לפתור:\((a−5)^2+4=24\).
- תשובה
-
\(a=5+2\sqrt{5}\), \(a=5−2\sqrt{5}\)
לפתור:\((b−3)^2−8=24\).
- תשובה
-
\(b=3+4\sqrt{2}\), \(b=3−4\sqrt{2}\)
לפתור:\((3v−7)^2=−12\).
- תשובה
-
\((3v−7)^2=−12\) השתמש במאפיין השורש הריבועי. \(3v−7=\pm\sqrt{−12}\) \(\sqrt{−12}\)זה לא מספר אמיתי. אין פתרון אמיתי.
לפתור:\((3r+4)^2=−8\).
- תשובה
-
אין פתרון אמיתי
נראה כי הצד השמאלי של המשוואות בשתי הדוגמאות הבאות אינו מהצורה\(a(x−h)^2\). אבל הם טרינומים מרובעים מושלמים, ולכן אנו נביא בחשבון לשים אותם בצורה שאנחנו צריכים.
לפתור:\(p^2−10p+25=18\).
- תשובה
-
הצד השמאלי של המשוואה הוא טרינום מרובע מושלם. אנו נביא את זה קודם.
\(p^2−10p+25=18\) פקטור הטרינום המרובע המושלם. \((p−5)^2=18\) השתמש במאפיין השורש הריבועי. \(p−5=\pm\sqrt{18}\) לפשט את הרדיקלי. \(p−5=\pm3\sqrt{2}\) לפתור עבור p. \(p=5\pm3\sqrt{2}\) כתוב מחדש כדי להציג שני פתרונות. \(p=5+3\sqrt{2}\), \(p=5−3\sqrt{2}\) בדוק. אנו משאירים את הצ'ק עבורך.
לפתור:\(x^2−6x+9=12\).
- תשובה
-
\(x=3+2\sqrt{3}\), \(x=3−2\sqrt{3}\)
לפתור:\(y^2+12y+36=32\).
- תשובה
-
\(y=−6+4\sqrt{2}\), \(y=−6−4\sqrt{2}\)
לפתור:\(4n^2+4n+1=16\).
- תשובה
-
שוב, אנו מבחינים שהצד השמאלי של המשוואה הוא טרינום מרובע מושלם. אנו נביא את זה קודם.
\(4n^2+4n+1=16\) פקטור הטרינום המרובע המושלם. \((2n+1)^2=16\) השתמש במאפיין השורש הריבועי. \((2n+1)=\pm\sqrt{16}\) לפשט את הרדיקלי. \((2n+1)=\pm4\) לפתור עבור n. \(2n=−1\pm4\) מחלקים כל צד ב -2. \(\frac{2n}{2}=\frac{−1\pm4}{2}\)
\(n=\frac{−1\pm4}{2}\)
כתוב מחדש כדי להציג שני פתרונות. \(n=\frac{−1+4}{2}\), \(n=\frac{−1−4}{2}\) פשט כל משוואה. \(n=\frac{3}{2}\), \(n=−\frac{5}{2}\) בדוק.
לפתור:\(9m^2−12m+4=25\).
- תשובה
-
\(m=\frac{7}{3}\), \(m=−1\)
לפתור:\(16n^2+40n+25=4\).
- תשובה
-
\(n=−\frac{3}{4}\), \(n=−\frac{7}{4}\)
גש למשאבים מקוונים אלה להדרכה ותרגול נוספים עם פתרון משוואות ריבועיות:
- פתרון משוואות ריבועיות: פתרון על ידי לקיחת שורשים מרובעים
- שימוש בשורשים מרובעים לפתרון משוואות ריבועיות
- פתרון משוואות ריבועיות: שיטת השורש הריבועי
מושגי מפתח
- נכס שורש ריבועי
אם \(x^2=k\)\(k\ge 0\), ולאחר מכן \(x=\sqrt{k}\) או\(x=−\sqrt{k}\).
רשימת מילים
- משוואה ריבועית
- משוואה ריבועית היא משוואה של הצורה \(ax^2+bx+c=0\) שבה\(a \ne 0\).
- נכס שורש מרובע
- נכס השורש הריבועי קובע כי, אם\(x^2=k\), ו\(k\ge 0\), אז \(x=\sqrt{k}\) או\(x=−\sqrt{k}\).