Skip to main content
Global

2.7: לפתור אי שוויון לינארי

  • Page ID
    205577
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    מטרות למידה

    בסוף פרק זה תוכל:

    • אי שוויון בתרשים בשורת המספרים
    • לפתור אי שוויון באמצעות מאפייני החיסור וההוספה של אי שוויון
    • לפתור אי שוויון באמצעות מאפייני החלוקה והכפל של אי השוויון
    • לפתור אי שוויון הדורש פישוט
    • תרגם לאי שוויון ופתור
    הערה

    לפני שתתחיל, קח את חידון המוכנות הזה.

    1. תרגם מאלגברה לאנגלית:\(15>x\).
      אם פספסת בעיה זו, עיין בתרגיל 1.3.1.
    2. לפתור:\(n−9=−42\).
      אם פספסת בעיה זו, עיין בתרגיל 2.1.7.
    3. לפתור:\(−5p=−23\).
      אם פספסת בעיה זו, עיין בתרגיל 2.2.1.
    4. לפתור:\(3a−12=7a−20\).
      אם פספסת בעיה זו, עיין בתרגיל 2.3.22.

    אי שוויון בתרשים בשורת המספרים

    האם אתה זוכר מה המשמעות של מספר להיות פיתרון למשוואה? פיתרון של משוואה הוא ערך של משתנה שעושה אמירה אמיתית כאשר הוא מוחלף במשוואה.

    מה לגבי הפתרון של אי שוויון? איזה מספר יהפוך את אי השוויון \(x > 3\) לאמיתי? האם אתה חושב, 'x יכול להיות 4'? זה נכון, אבל x יכול להיות גם 5, או 20, או אפילו 3.001. כל מספר גדול מ -3 הוא פתרון לאי השוויון\(x > 3\).

    אנו מראים את הפתרונות לאי השוויון בשורת המספרים \(x > 3\) על ידי הצללה בכל המספרים מימין ל -3, כדי להראות שכל המספרים הגדולים מ -3 הם פתרונות. מכיוון שהמספר 3 עצמו אינו פיתרון, שמנו סוגריים פתוחים על 3. הגרף של \(x > 3\) מוצג באיור\(\PageIndex{1}\). שימו לב כי נעשה שימוש במוסכמה הבאה: חיצים בצבע תכלת מצביעים בכיוון החיובי וחצים כחולים כהים מצביעים בכיוון השלילי.

    נתון זה הוא קו מספר שנע בין 5 ל -5 שלילי עם סימני סימון עבור כל מספר שלם. אי השוויון x גדול מ -3 מופיע בתרשים בשורת המספרים, עם סוגריים פתוחים ב- x שווה ל -3, וקו אדום המשתרע מימין לסוגריים.
    איור\(\PageIndex{1}\): \(x > 3\) אי השוויון מופיע בתרשים בשורת המספרים הזו.

    הגרף של \(x \geq 3\) אי השוויון דומה מאוד לגרף של\(x > 3\), אבל עכשיו אנחנו צריכים להראות שגם 3 הוא פתרון. אנו עושים זאת על ידי הצבת סוגר ב\(x = 3\), כפי שמוצג באיור\(\PageIndex{2}\).

    נתון זה הוא קו מספר שנע בין 5 ל -5 שלילי עם סימני סימון עבור כל מספר שלם. אי השוויון x גדול או שווה ל -3 מופיע בתרשים בשורת המספרים, עם סוגר פתוח ב- x שווה ל -3, וקו אדום המשתרע מימין לסוגר.
    איור\(\PageIndex{2}\): \(x \geq 3\) אי השוויון מופיע בתרשים בשורת המספרים הזו.

    שים לב שסמל הסוגריים הפתוחים, (, מראה שנקודת הסיום של אי השוויון אינה כלולה. סמל הסוגר הפתוח, [, מראה שנקודת הקצה כלולה.

    תרגיל \(\PageIndex{1}\)

    תרשים בשורת המספרים:

    1. \(x\leq 1\)
    2. \(x<5\)
    3. \(x>−1\)
    תשובה

    1. \(x\leq 1\)המשמעות היא שכל המספרים פחות או שווים ל- 1. אנו מצללים את כל המספרים בשורת המספרים משמאל ל -1 ושמים סוגר ב- x = 1 כדי להראות שהוא כלול.
    נתון זה הוא קו מספר שנע בין 5 ל -5 שלילי עם סימני סימון עבור כל מספר שלם. אי השוויון x קטן או שווה ל- 1 מופיע בתרשים בשורת המספרים, כאשר סוגר פתוח ב- x שווה ל- 1, וקו אדום המשתרע משמאל לתושבת.

    2. \(x<5\)המשמעות היא שכל המספרים פחות מ -5, אך לא כולל 5. אנו מצללים את כל המספרים בשורת המספרים משמאל ל -5 ושמים סוגריים ב- x = 5 כדי להראות שהיא אינה כלולה.
    נתון זה הוא קו מספר שנע בין 5 ל -5 שלילי עם סימני סימון עבור כל מספר שלם. אי השוויון x הוא פחות מ -5 מופיע בתרשים בשורת המספרים, כאשר סוגריים פתוחים ב- x שווה ל- 5, וקו אדום המשתרע מימין לסוגריים.

    3. \(x>−1\)המשמעות היא שכל המספרים גדולים מ -1, אך לא כולל -1. אנו מצללים את כל המספרים בשורת המספרים מימין ל -1, ואז שמים סוגריים ב איקס=−1 כדי להראות שהוא אינו כלול.
    נתון זה הוא קו מספר שנע בין 5 ל -5 שלילי עם סימני סימון עבור כל מספר שלם. אי השוויון x גדול משלילי 1 מופיע בתרשים בשורת המספרים, כאשר סוגריים פתוחים ב- x שווה לשלילי 1, וקו אדום המשתרע מימין לסוגריים.

    תרגיל \(\PageIndex{2}\)

    תרשים בשורת המספרים:

    1. \(x\leq −1\)
    2. \(x>2\)
    3. \(x<3\)
    תשובה
    1. נתון זה הוא קו מספר שנע בין 5 ל -5 שלילי עם סימני סימון עבור כל מספר שלם. אי השוויון x קטן או שווה לשלילי 1 מופיע בתרשים בשורת המספרים, כאשר סוגר פתוח ב- x שווה לשלילי 1, וקו כהה המשתרע משמאל לתושבת.
    2. נתון זה הוא קו מספר שנע בין 5 ל -5 שלילי עם סימני סימון עבור כל מספר שלם. אי השוויון x גדול מ -2 מופיע בתרשים בשורת המספרים, עם סוגריים פתוחים ב- x שווה ל -2, וקו כהה המשתרע מימין לסוגריים.
    3. נתון זה הוא קו מספר שנע בין 5 ל -5 שלילי עם סימני סימון עבור כל מספר שלם. אי השוויון x הוא פחות מ -3 מופיע בתרשים בשורת המספרים, עם סוגריים פתוחים ב- x שווה ל -3, וקו כהה המשתרע משמאל לסוגריים.
    תרגיל \(\PageIndex{3}\)

    תרשים בשורת המספרים:

    1. \(x>−2\)
    2. \(x<−3\)
    3. \(x\geq −1\)
    תשובה
    1. נתון זה הוא קו מספר שנע בין 5 ל -5 שלילי עם סימני סימון עבור כל מספר שלם. אי השוויון x גדול משלילי 2 מופיע בתרשים בשורת המספרים, כאשר סוגריים פתוחים ב- x שווה לשלילי 2, וקו כהה המשתרע מימין לסוגריים.
    2. נתון זה הוא קו מספר שנע בין 5 ל -5 שלילי עם סימני סימון עבור כל מספר שלם. אי השוויון x הוא פחות משלילי 3 מופיע בתרשים בשורת המספרים, כאשר סוגריים פתוחים ב- x שווה לשלילי 3, וקו כהה המשתרע משמאל לסוגריים.
    3. נתון זה הוא קו מספר שנע בין 5 ל -5 שלילי עם סימני סימון עבור כל מספר שלם. אי השוויון x גדול או שווה לשלילי 1 מופיע בתרשים בשורת המספרים, כאשר סוגר פתוח ב- x שווה לשלילי 1, וקו כהה המשתרע מימין לסוגר.

    אנו יכולים גם לייצג אי שוויון באמצעות סימון מרווחים. כפי שראינו לעיל, אי השוויון \(x>3\) פירושו כל המספרים הגדולים מ -3. אין קצה עליון לפתרון אי השוויון הזה. בסימון מרווחים, אנו מבטאים \(x>3\) כ\((3, \infty)\). הסמל \(\infty\) נקרא 'אינסוף'. זה לא מספר ממשי. איור \(\PageIndex{3}\) מציג הן את שורת המספרים והן את סימון המרווח.

    נתון זה הוא קו מספר שנע בין 5 ל -5 שלילי עם סימני סימון עבור כל מספר שלם. אי השוויון x גדול מ -3 מופיע בתרשים בשורת המספרים, עם סוגריים פתוחים ב- x שווה ל -3, וקו אדום המשתרע מימין לסוגריים. אי השוויון כתוב גם בסימון מרווחים כסוגריים, 3 אינסוף פסיק, סוגריים.
    איור\(\PageIndex{3}\): \(x>3\) אי השוויון מופיע בתרשים בשורת המספרים הזו ונכתב בסימון מרווחים.

    אי השוויון \(x\leq 1\) פירושו כל המספרים פחות או שווים ל -1. אין סוף נמוך יותר למספרים האלה. אנו כותבים \(x\leq 1\) בסימון מרווחים כ\((-\infty, 1]\). הסמל \(-\infty\) נקרא "אינסוף שלילי". איור \(\PageIndex{4}\) מציג הן את שורת המספרים והן את סימון המרווח.

    נתון זה הוא קו מספר שנע בין 5 ל -5 שלילי עם סימני סימון עבור כל מספר שלם. אי השוויון x קטן או שווה ל- 1 מופיע בתרשים בשורת המספרים, כאשר סוגר פתוח ב- x שווה ל- 1, וקו אדום המשתרע משמאל לתושבת. אי השוויון כתוב גם בסימון מרווחים כסוגריים, פסיק אינסוף שלילי 1, סוגר.
    איור\(\PageIndex{4}\): \(x\leq 1\) אי השוויון מופיע בתרשים בשורת המספרים הזו ונכתב בסימון מרווחים.
    אי שוויון, שורות מספרים וסימון מרווחים

    איור זה מציג ארבע שורות מספרים, כולן ללא סימני סימון. אי השוויון x גדול מ- a בתרשים בשורת המספרים הראשונה, כאשר סוגריים פתוחים ב- x שווה ל- a, וקו אדום המשתרע מימין לסוגריים. אי השוויון כתוב גם בסימון מרווחים כסוגריים, אינסוף פסיק, סוגריים. אי השוויון x גדול או שווה ל- a מופיע בתרשים בשורת המספרים השנייה, כאשר סוגר פתוח ב- x שווה ל- a, וקו אדום המשתרע מימין לתושבת. אי השוויון כתוב גם בסימון מרווחים כסוגר, אינסוף פסיק, סוגריים. אי השוויון x הוא פחות מ- a בתרשים בשורת המספרים השלישית, כאשר סוגריים פתוחים ב- x שווה ל- a, וקו אדום המשתרע משמאל לסוגריים. אי השוויון כתוב גם בסימון מרווחים כסוגריים, פסיק אינסוף שלילי א, סוגריים. אי השוויון x קטן או שווה ל- a מופיע בתרשים בשורת המספרים האחרונה, כאשר סוגר פתוח ב- x שווה ל- a, וקו אדום המשתרע משמאל לתושבת. אי השוויון כתוב גם בסימון מרווחים כסוגריים, פסיק אינסוף שלילי א, סוגר.

    האם שמת לב כיצד הסוגריים או הסוגריים בסימון המרווח תואמים את הסמל בנקודת הקצה של החץ? קשרים אלה מוצגים באיור\(\PageIndex{5}\).

    איור זה מציג את אותן ארבע שורות מספרים כמו לעיל, עם אותן תוויות סימון מרווחים. מתחת לסימון המרווח עבור כל שורת מספרים, יש טקסט המציין כיצד הסימון בשורות המספרים דומה לסימון המרווח. שורת המספרים הראשונה היא גרף של x גדול מ- a, וסימון המרווח הוא סוגריים, אינסוף פסיק, סוגריים. בטקסט שלהלן כתוב: "לשניהם יש סוגריים שמאליים." שורת המספרים השנייה היא גרף של x גדול או שווה ל- a, וסימון המרווח הוא סוגר, אינסוף פסיק, סוגריים. בטקסט שלהלן כתוב: "לשניהם יש סוגר שמאלי." שורת המספרים השלישית היא גרף של x הוא פחות מ- a, וסימון המרווח הוא סוגריים, פסיק אינסוף שלילי a, סוגריים. בטקסט שלהלן נכתב: "לשניהם יש סוגריים נכונים." שורת המספרים האחרונה היא גרף של x הוא פחות או שווה ל a, וסימון המרווח הוא סוגריים, פסיק אינסוף שלילי a, סוגר. בטקסט שלהלן כתוב: "לשניהם יש סוגר ימני."
    איור\(\PageIndex{5}\): הסימון לאי-שוויון בשורת מספרים ובסימון מרווחים משתמש בסמלים דומים כדי לבטא את נקודות הקצה של המרווחים.
    תרגיל \(\PageIndex{4}\)

    גרף בשורת המספרים וכתוב בסימון מרווחים.

    1. \(x \geq -3\)
    2. \(x<2.5\)
    3. \(x\leq \frac{3}{5}\)
    תשובה

    1.

      .
    צל מימין ל -3, והניח סוגר ב -3. .
    כתוב בסימון מרווחים. .
    2.
      .
    צל משמאל ל -2.5, והניח סוגריים על 2.5. .
    כתוב בסימון מרווחים. .
    3.
      .
    צל בצד שמאל של\(-\frac{3}{5}\), ולשים סוגר ב\(-\frac{3}{5}\). .
    כתוב בסימון מרווחים. .
    תרגיל \(\PageIndex{5}\)

    גרף בשורת המספרים וכתוב בסימון מרווחים:

    1. \(x>2\)
    2. \(x\leq −1.5\)
    3. \(x\geq \frac{3}{4}\)
    תשובה
    1. נתון זה הוא קו מספר שנע בין 5 ל -5 שלילי עם סימני סימון עבור כל מספר שלם. אי השוויון x גדול מ -2 מופיע בתרשים בשורת המספרים, עם סוגריים פתוחים ב- x שווה ל -2, וקו כהה המשתרע מימין לסוגריים. אי השוויון כתוב גם בסימון מרווחים כסוגריים, 2 אינסוף פסיק, סוגריים.
    2. נתון זה הוא קו מספר שנע בין 5 ל -5 שלילי עם סימני סימון עבור כל מספר שלם. אי השוויון x קטן או שווה לשלילי 1.5 מתואר על קו המספרים, כאשר סוגר פתוח ב- x שווה ל- 1.5 שלילי, וקו כהה המשתרע משמאל לתושבת. אי השוויון כתוב גם בסימון מרווחים כסוגריים, פסיק אינסוף שלילי שלילי 1.5, סוגר.
    3. נתון זה הוא קו מספר שנע בין 5 ל -5 שלילי עם סימני סימון עבור כל מספר שלם. אי השוויון x גדול או שווה ל- 3/4 מופיע בתרשים בשורת המספרים, כאשר סוגר פתוח ב- x שווה ל- 3/4, וקו כהה המשתרע מימין לתושבת. אי השוויון כתוב גם בסימון מרווחים כסוגר, 3/4 אינסוף פסיק, סוגריים.
    תרגיל \(\PageIndex{6}\)

    גרף בשורת המספרים וכתוב בסימון מרווחים:

    1. \(x\leq −4\)
    2. \(x\geq 0.5\)
    3. \(x<-\frac{2}{3}\)
    תשובה
    1. נתון זה הוא קו מספר שנע בין 5 ל -5 שלילי עם סימני סימון עבור כל מספר שלם. אי השוויון x קטן או שווה לשלילי 4 מופיע בתרשים בשורת המספרים, כאשר סוגר פתוח ב- x שווה לשלילי 4, וקו כהה המשתרע משמאל לתושבת. אי השוויון כתוב גם בסימון מרווחים כסוגריים, פסיק אינסוף שלילי שלילי 4, סוגר.
    2. נתון זה הוא קו מספר שנע בין 5 ל -5 שלילי עם סימני סימון עבור כל מספר שלם. אי השוויון x גדול או שווה ל- 0.5 מתואר על קו המספרים, עם סוגר פתוח ב- x שווה ל 0.5, וקו כהה המשתרע מימין לסוגר. אי השוויון כתוב גם בסימון מרווחים כסוגר, אינסוף פסיק o.5, סוגריים.
    3. נתון זה הוא קו מספר שנע בין 5 ל -5 שלילי עם סימני סימון עבור כל מספר שלם. אי השוויון x הוא פחות משלילי 2/3 מופיע בתרשים בשורת המספרים, כאשר סוגריים פתוחים ב- x שווה לשלילי 2/3, וקו כהה המשתרע משמאל לסוגריים. אי השוויון כתוב גם בסימון מרווחים כסוגריים, פסיק אינסוף שלילי שלילי 2/3, סוגריים.

    לפתור אי שוויון באמצעות מאפייני החיסור וההוספה של אי שוויון

    מאפייני החיסור והתוספת של שוויון קובעים שאם שתי כמויות שוות, כאשר נוסיף או נחסר את אותה כמות משתי הכמויות, התוצאות יהיו שוות.

    תכונות של שוויון

    \[\begin{array} { l l } { \textbf { Subtraction Property of Equality } } & { \textbf { Addition Property of Equality } } \\ { \text { For any numbers } a , b , \text { and } c , } & { \text { For any numbers } a , b , \text { and } c } \\ { \text { if } \qquad \quad a = b , } & { \text { if } \qquad \quad a = b } \\ { \text { then } a - c = b - c . } & { \text { then } a + c = b + c } \end{array}\]

    מאפיינים דומים נכונים לגבי אי שוויון.

    לדוגמה, אנו יודעים כי -4 הוא פחות מ -2. .
    אם נחסר 5 משני הכמויות, האם הצד השמאלי עדיין פחות מהצד הימני? .
    אנחנו מקבלים −9 בצד שמאל ו -3 בצד ימין. .
    ואנחנו יודעים ש- 9 הוא פחות מ -3. .
     

    סימן האי-שוויון נשאר זהה.

    טבלה \(\PageIndex{1}\)

    באופן דומה נוכל להראות שגם אי השוויון נשאר זהה לתוספת.

    זה מוביל אותנו לתכונות החיסור והתוספת של אי שוויון.

    מאפיינים של אי שוויון

    \[\begin{array} { l l } { \textbf { Subtraction Property of Inequality } } & { \textbf { Addition Property of Inequality } } \\ { \text { For any numbers } a , b , \text { and } c , } & { \text { For any numbers } a , b , \text { and } c } \\ { \text { if }\qquad \quad a < b } & { \text { if } \qquad \quad a < b } \\ { \text { then } a - c < b - c . } & { \text { then } a + c < b + c } \\\\ { \text { if } \qquad \quad a > b } & { \text { if } \qquad \quad a > b } \\ { \text { then } a - c > b - c . } & { \text { then } a + c > b + c } \end{array}\]

    אנו משתמשים במאפיינים אלה כדי לפתור אי שוויון, תוך נקיטת אותם צעדים בהם השתמשנו כדי לפתור משוואות. בפתרון אי השוויון\(x+5>9\), הצעדים ייראו כך:

    \[\begin{array}{rrll} {} &{x + 5} &{ >} &{9} \\ {\text{Subtract 5 from both sides to isolate }x.} &{x + 5 - 5} &{ >} &{9 - 5} \\{} &{x} &{ >} &{4} \\ \end{array}\]

    כל מספר גדול מ -4 הוא פיתרון לאי-שוויון זה.

    תרגיל \(\PageIndex{7}\)

    פתור את אי השוויון\(n - \frac{1}{2} \leq \frac{5}{8}\), גרף את הפתרון בשורת המספרים וכתוב את הפתרון בסימון מרווחים.

    תשובה
      .
    הוסף \(\frac{1}{2}\) לשני הצדדים של אי השוויון. .
    לפשט. .
    גרף את הפתרון בשורת המספרים. .
    כתוב את הפתרון בסימון מרווחים.  
    תרגיל \(\PageIndex{8}\)

    פתור את אי השוויון, גרף את הפתרון בשורת המספרים וכתוב את הפתרון בסימון מרווחים.

    \(p - \frac{3}{4} \geq \frac{1}{6}\)

    תשובה

    נתון זה מראה את אי השוויון p גדול או שווה ל- 11/12. מתחת לאי-שוויון זה נמצא אי השוויון בתרשים בשורת מספרים שנעה בין 0 ל -4, עם סימני סימון בכל מספר שלם. יש סוגר ב p שווה 11/12, וקו כהה משתרע ימינה מ 11/12. מתחת לשורת המספרים נמצא הפיתרון שנכתב בסימון מרווחים: סוגר, אינסוף פסיק 11/12, סוגריים.

    תרגיל \(\PageIndex{9}\)

    פתור את אי השוויון, גרף את הפתרון בשורת המספרים וכתוב את הפתרון בסימון מרווחים.

    \(r - \frac{1}{3} \leq \frac{7}{12}\)

    תשובה

    נתון זה מראה את אי השוויון r הוא פחות או שווה ל 11/12. מתחת לאי-שוויון זה נמצא אי השוויון בתרשים בשורת מספרים שנעה בין 0 ל -4, עם סימני סימון בכל מספר שלם. יש סוגר ב r שווה 11/12, וקו כהה משתרע שמאלה מ 11/12. מתחת לשורת המספרים נמצא הפיתרון שנכתב בסימון מרווחים: סוגריים, פסיק אינסוף שלילי 11/12, סוגר.

    לפתור אי שוויון באמצעות מאפייני החלוקה והכפל של אי השוויון

    מאפייני החלוקה והכפל של השוויון קובעים שאם שתי כמויות שוות, כאשר אנו מחלקים או מכפילים את שתי הכמויות באותה כמות, התוצאות יהיו גם שוות (בתנאי שלא נחלק ב- 0).

    תכונות של שוויון

    \[\begin{array}{ll} {\textbf{Division Property of Equality}} &{\textbf{MUltiplication Property of Equality}} \\ {\text{For any numbers a, b, c, and c} \neq 0} &{\text{For any numbers a, b, c}} \\ {\text{if } \qquad a = b} &{\text{if} \qquad \quad a = b} \\ {\text{then }\quad \frac{a}{c} = \frac{b}{c}} &{\text{then } \quad ac = bc} \end{array}\]

    האם יש מאפיינים דומים לאי-שוויון? מה קורה לאי שוויון כשאנחנו מחלקים או מכפילים את שני הצדדים בקבוע?

    קחו כמה דוגמאות מספריות.

      .   .
    מחלקים את שני הצדדים ב -5. . הכפל את שני הצדדים ב -5. .
    לפשט. .   .
    מלא את סימני האי-שוויון. .   .
    טבלה \(\PageIndex{2}\)

    סימני האי-שוויון נשארו זהים.

    האם אי השוויון נשאר זהה כאשר אנו מחלקים או מכפילים במספר שלילי?

      .   .
    מחלקים את שני הצדדים ב -5. . הכפל את שני הצדדים ב -5. .
    לפשט. .   .
    מלא את סימני האי-שוויון. .   .
    טבלה \(\PageIndex{3}\)

    סימני האי-שוויון הפכו את כיוונם.

    כאשר אנו מחלקים או מכפילים אי שוויון במספר חיובי, סימן האי-שוויון נשאר זהה. כאשר אנו מחלקים או מכפילים אי שוויון במספר שלילי, סימן האי-שוויון מתהפך.

    להלן מאפייני החלוקה והכפל של אי השוויון להתייחסות קלה.

    מאפייני חלוקה וכפל של אי שוויון

    עבור כל המספרים האמיתיים a, b, c

    \[\begin{array}{ll} {\text{if } a < b \text{ and } c > 0, \text{ then}} &{\frac{a}{c} < \frac{b}{c} \text{ and } ac < bc} \\ {\text{if } a > b \text{ and } c > 0, \text{ then}} &{\frac{a}{c} > \frac{b}{c} \text{ and } ac > bc} \\ {\text{if } a < b \text{ and } c < 0, \text{ then}} &{\frac{a}{c} > \frac{b}{c} \text{ and } ac > bc} \\ {\text{if } a > b \text{ and } c < 0, \text{ then}} &{\frac{a}{c} < \frac{b}{c} \text{ and } ac < bc} \end{array}\]

    כאשר אנו מחלקים או מכפילים אי שוויון ב:

    • מספר חיובי, אי השוויון נשאר זהה.
    • מספר שלילי, אי השוויון מתהפך.
    תרגיל \(\PageIndex{10}\)

    פתור את אי השוויון\(7y<​​42\), גרף את הפתרון בשורת המספרים וכתוב את הפתרון בסימון מרווחים.

    תשובה
      .
    חלקו את שני הצדדים של אי השוויון ב-7.
    מאז\(7>0\), אי השוויון נשאר זהה.
    .
    לפשט. .
    גרף את הפתרון בשורת המספרים. .
    כתוב את הפתרון בסימון מרווחים. .
    תרגיל \(\PageIndex{11}\)

    פתור את אי השוויון, גרף את הפתרון בשורת המספרים וכתוב את הפתרון בסימון מרווחים.

    \(9c>72\)

    תשובה

    \(c>8\)

    נתון זה הוא קו מספר שנע בין 6 ל -10 עם סימני סימון עבור כל מספר שלם. אי השוויון c גדול מ- 8 מופיע בתרשים בשורת המספרים, כאשר סוגריים פתוחים ב- c שווה ל- 8, וקו כהה המשתרע מימין לסוגריים.

    \((8, \infty)\)

    תרגיל \(\PageIndex{12}\)

    פתור את אי השוויון, גרף את הפתרון בשורת המספרים וכתוב את הפתרון בסימון מרווחים.

    \(12d\leq 60\)

    תשובה

    \(d\leq 5\)

    נתון זה הוא קו מספר שנע בין 3 ל -7 עם סימני סימון עבור כל מספר שלם. אי השוויון d קטן או שווה ל- 5 מופיע בתרשים בשורת המספרים, כאשר סוגר פתוח ב- d שווה ל -5, וקו כהה המשתרע משמאל לתושבת. אי השוויון כתוב גם בסימון מרווחים כסוגריים, פסיק אינסוף שלילי 5, סוגר.

    \((-\infty, 5]\)

    תרגיל \(\PageIndex{13}\)

    פתור את אי השוויון\(−10a\geq 50\), גרף את הפתרון בשורת המספרים וכתוב את הפתרון בסימון מרווחים.

    תשובה
      .
    חלקו את שני צידי אי השוויון ב -10.
    מאז\(−10<0\), אי השוויון מתהפך.
    .
    לפשט. .
    גרף את הפתרון בשורת המספרים. .
    כתוב את הפתרון בסימון מרווחים. .
    תרגיל \(\PageIndex{14}\)

    פתור כל אי שוויון, גרף את הפתרון בשורת המספרים וכתוב את הפתרון בסימון מרווחים.

    \(−8q<32\)

    תשובה

    \(q>−4\)

    נתון זה הוא קו מספרים שנע בין 6 שלילי לשלילי 3 עם סימני סימון לכל מספר שלם. אי השוויון q גדול משלילי 4 מופיע בתרשים בשורת המספרים, כאשר סוגריים פתוחים ב- q שווה לשלילי 4, וקו כהה המשתרע מימין לסוגריים. אי השוויון כתוב גם בסימון מרווחים כסוגריים, אינסוף פסיקים שלילי 4, סוגריים.

    תרגיל \(\PageIndex{15}\)

    פתור כל אי שוויון, גרף את הפתרון בשורת המספרים וכתוב את הפתרון בסימון מרווחים.

    \(−7r\leq −70\)

    תשובה

    נתון זה הוא קו מספר שנע בין 9 ל -13 עם סימני סימון עבור כל מספר שלם. אי השוויון r גדול או שווה ל- 10 מופיע בתרשים בשורת המספרים, כאשר סוגר פתוח ב- r שווה ל 10, וקו כהה המשתרע מימין לסוגר. אי השוויון כתוב גם בסימון מרווחים כסוגר, 10 אינסוף פסיק, סוגריים.

    פתרון אי שוויון
    לפעמים כאשר פותרים אי שוויון, המשתנה מסתיים בצד ימין. אנחנו יכולים לשכתב את אי השוויון הפוך כדי לקבל את המשתנה שמאלה.

    \[\begin{array}{l} x > a\text{ has the same meaning as } a < x \end{array}\]

    תחשוב על זה כמו "אם חאווייר גבוה יותר מאלכס, אז אלכס נמוך יותר מחסבייר."

    תרגיל \(\PageIndex{16}\)

    פתור את אי השוויון\(-20 < \frac{4}{5}u\), גרף את הפתרון בשורת המספרים וכתוב את הפתרון בסימון מרווחים.

    תשובה
      .
    הכפל את שני הצדדים של אי השוויון ב\(\frac{5}{4}\).
    מאז\(\frac{5}{4} > 0\), אי השוויון נשאר זהה.
    .
    לפשט. .
    כתוב מחדש את המשתנה משמאל. .
    גרף את הפתרון בשורת המספרים. .
    כתוב את הפתרון בסימון מרווחים. .
    תרגיל \(\PageIndex{17}\)

    פתור את אי השוויון, גרף את הפתרון בשורת המספרים וכתוב את הפתרון בסימון מרווחים.

    \(24 \leq \frac{3}{8}m\)

    תשובה

    נתון זה מראה כי אי השוויון m גדול או שווה ל 64. מתחת לאי-שוויון זה נמצא קו מספרים שנע בין 63 ל -67 עם סימני סימון לכל מספר שלם. אי השוויון m גדול או שווה ל 64 הוא בתרשים על קו המספרים, עם סוגר פתוח ב m שווה 64, וקו כהה המשתרע מימין לתושבת. אי השוויון כתוב גם בסימון מרווחים כסוגר, 64 אינסוף פסיק, סוגריים.

    תרגיל \(\PageIndex{18}\)

    פתור את אי השוויון, גרף את הפתרון בשורת המספרים וכתוב את הפתרון בסימון מרווחים.

    \(-24 < \frac{4}{3}n\)

    תשובה

    נתון זה מראה את אי השוויון n גדול משלילי 18. מתחת לאי-שוויון זה נמצא קו מספרים שנע בין שלילי 20 לשלילי 16 עם סימני סימון לכל מספר שלם. אי השוויון n גדול משלילי 18 מופיע בתרשים בשורת המספרים, כאשר סוגריים פתוחים ב- n שווה לשלילי 18, וקו כהה המשתרע מימין לסוגריים. אי השוויון כתוב גם בסימון מרווחים כסוגריים, אינסוף פסיקים שלילי 18, סוגריים.

    תרגיל \(\PageIndex{19}\)

    פתור את אי השוויון\(\frac{t}{-2} \geq 8\), גרף את הפתרון בשורת המספרים וכתוב את הפתרון בסימון מרווחים.

    תשובה
      .
    הכפל את שני הצדדים של אי השוויון ב -2.
    מאז\(−2<0\), אי השוויון מתהפך.
    .
    לפשט. .
    גרף את הפתרון בשורת המספרים. .
    כתוב את הפתרון בסימון מרווחים. .
    תרגיל \(\PageIndex{20}\)

    פתור את אי השוויון, גרף את הפתרון בשורת המספרים וכתוב את הפתרון בסימון מרווחים.

    \(\frac{k}{-12}\leq 15\)

    תשובה

    נתון זה מראה את אי השוויון k גדול או שווה ל 180 שלילי. מתחת לאי-שוויון זה נמצא קו מספרים שנע בין שלילי 181 לשלילי 177 עם סימני סימון לכל מספר שלם. אי השוויון k גדול או שווה לשלילי 180 מופיע בתרשים בשורת המספרים, כאשר סוגר פתוח ב- n שווה לשלילי 180, וקו כהה המשתרע מימין לסוגר. אי השוויון כתוב גם בסימון מרווחים כסוגר, אינסוף פסיקים שלילי 180, סוגריים.

    תרגיל \(\PageIndex{21}\)

    פתור את אי השוויון, גרף את הפתרון בשורת המספרים וכתוב את הפתרון בסימון מרווחים.

    \(\frac{u}{-4}\geq -16\)

    תשובה

    נתון זה מראה את אי השוויון u הוא פחות או שווה ל 64. מתחת לאי-שוויון זה נמצא קו מספרים שנע בין 62 ל -66 עם סימני סימון לכל מספר שלם. אי השוויון u הוא פחות או שווה ל 64 הוא בתרשים על קו המספרים, עם סוגר פתוח ב u שווה 64, וקו כהה המשתרע משמאל לסוגר. אי השוויון כתוב גם בסימון מרווחים כסוגריים, פסיק אינסוף שלילי 64, סוגר.

    ​​​​​

    לפתור אי שוויון הדורש פישוט

    רוב אי השוויון ייקח יותר מצעד אחד לפתור. אנו מבצעים את אותם השלבים בהם השתמשנו באסטרטגיה הכללית לפתרון משוואות לינאריות, אך הקפד לשים לב היטב במהלך הכפל או החלוקה.

    תרגיל \(\PageIndex{22}\)

    פתור את אי השוויון\(4m\leq 9m+17\), גרף את הפתרון בשורת המספרים וכתוב את הפתרון בסימון מרווחים.

    תשובה
      .
    הפחת 9 מ 'משני הצדדים כדי לאסוף את המשתנים משמאל. .
    לפשט. .
    חלקו את שני צידי אי השוויון ב -5, והפיכו את אי השוויון. .
    לפשט. .
    גרף את הפתרון בשורת המספרים. .
    כתוב את הפתרון בסימון מרווחים. .
    תרגיל \(\PageIndex{23}\)

    פתור את אי השוויון\(3q\geq 7q−23\), גרף את הפתרון בשורת המספרים וכתוב את הפתרון בסימון מרווחים.

    תשובה

    נתון זה מראה את אי השוויון q הוא פחות או שווה ל 23/4. מתחת לאי-שוויון זה נמצא קו מספרים שנע בין 4 ל -8 עם סימני סימון לכל מספר שלם. אי השוויון q קטן או שווה ל- 23/4 מופיע בתרשים בשורת המספרים, כאשר סוגר פתוח ב- q שווה ל 23/4 (כתוב ב), וקו כהה המשתרע משמאל לסוגר. אי השוויון כתוב גם בסימון מרווחים כסוגריים, פסיק אינסוף שלילי 23/4, סוגר.

    תרגיל \(\PageIndex{24}\)

    פתור את אי השוויון\(6x<10x+19\), גרף את הפתרון בשורת המספרים וכתוב את הפתרון בסימון מרווחים.

    תשובה

    נתון זה מראה את אי השוויון x גדול מ- 19/4 שלילי. מתחת לאי-שוויון זה נמצא קו מספרים שנע בין שלילי 7 לשלילי 3, עם סימני סימון לכל מספר שלם. אי השוויון x גדול מהשלילי 19/4 מופיע בתרשים בשורת המספרים, עם סוגריים פתוחים ב- x שווה 19/4 שלילי (כתוב ב), וקו כהה המשתרע מימין לסוגריים. אי השוויון כתוב גם בסימון מרווחים כסוגריים, אינסוף פסיק 19/4 שלילי, סוגריים.

    תרגיל \(\PageIndex{25}\)

    פתור את \(8p+3(p−12)>7p−28\) גרף אי השוויון את הפתרון בשורת המספרים, וכתוב את הפתרון בסימון מרווחים.

    תשובה
    לפשט כל צד ככל האפשר. 8p+3 (p −12) > 7p −28
    להפיץ. 8 ע'+3 עמ-36> 7 עמ-28
    לשלב מונחים כמו. 11 עמ-36> 7 עמ-28
    הפחת 7p משני הצדדים כדי לאסוף את המשתנים משמאל. 11 עמ-36-7 עמ> 7 עמ-28−7 עמ '
    לפשט. 4 עמ-36>-28
    הוסף 36 לשני הצדדים כדי לאסוף את הקבועים מימין. 4 עמ-36+36>-28+36
    לפשט. 4 עמ>8
    מחלקים את שני הצדדים של אי השוויון ב -4; אי השוויון נשאר זהה. \(\frac{4p}{4}>84\)
    לפשט. \(p>2\)
    גרף את הפתרון בשורת המספרים. .
    כתוב את הפתרון בסימון מרווחים. \((2, \infty)\)
    תרגיל \(\PageIndex{26}\)

    פתור את אי השוויון\(9y+2(y+6)>5y−24\), גרף את הפתרון בשורת המספרים וכתוב את הפתרון בסימון מרווחים.

    תשובה

    נתון זה מראה את אי השוויון y גדול משלילי 6. מתחת לאי-שוויון זה נמצא קו מספרים שנע בין שלילי 7 לשלילי 3 עם סימני סימון לכל מספר שלם. אי השוויון y גדול משלילי 6 מופיע בתרשים בשורת המספרים, כאשר סוגריים פתוחים ב- y שווה לשלילי 6, וקו כהה המשתרע מימין לסוגריים. אי השוויון כתוב גם בסימון מרווחים כסוגריים, אינסוף פסיקים שלילי 6, סוגריים.

    תרגיל \(\PageIndex{27}\)

    פתור את אי השוויון\(6u+8(u−1)>10u+32\), גרף את הפתרון בשורת המספרים וכתוב את הפתרון בסימון מרווחים.

    תשובה

    נתון זה מראה את אי השוויון u גדול מ -10. מתחת לאי-שוויון זה נמצא קו מספרים שנע בין 9 ל -13 עם סימני סימון לכל מספר שלם. אי השוויון u גדול מ- 10 מופיע בתרשים בשורת המספרים, כאשר סוגריים פתוחים ב- u שווה ל- 10, וקו כהה המשתרע מימין לסוגריים. אי השוויון כתוב גם בסימון מרווחים כסוגריים, 10 אינסוף פסיק, סוגריים.

    בדיוק כמו שמשוואות מסוימות הן זהויות וחלקן סתירות, גם אי שוויון עשוי להיות זהויות או סתירות. אנו מזהים צורות אלה כאשר אנו נשארים עם קבועים בלבד כאשר אנו פותרים את אי השוויון. אם התוצאה היא אמירה אמיתית, יש לנו זהות. אם התוצאה היא הצהרה כוזבת, יש לנו סתירה.

    תרגיל \(\PageIndex{28}\)

    פתור את אי השוויון\(8x−2(5−x)<4(x+9)+6x\), גרף את הפתרון בשורת המספרים וכתוב את הפתרון בסימון מרווחים.

    תשובה
    לפשט כל צד ככל האפשר. 8x−2 (5−איקס) <4 (איקס+9) +6x
    להפיץ. 8 איקס-10+2איקס<4איקס+36+6 איקס
    לשלב מונחים כמו. 10x−10 <10x+36
    הפחת 10x משני הצדדים כדי לאסוף את המשתנים משמאל. 10x−10−10איקס<10איקס+36−10x
    לפשט. −10 <36
    ה- xx נעלמו, ויש לנו אמירה אמיתית. אי השוויון הוא זהות.
    הפתרון הוא כל המספרים האמיתיים.
    גרף את הפתרון בשורת המספרים. .
    כתוב את הפתרון בסימון מרווחים. \((-\infty, \infty)\)
    תרגיל \(\PageIndex{29}\)

    פתור את אי השוויון\(4b−3(3−b)>5(b−6)+2b\), גרף את הפתרון בשורת המספרים וכתוב את הפתרון בסימון מרווחים.

    תשובה

    נתון זה מראה אי שוויון שהוא זהות. מתחת לאי-שוויון זה נמצא קו מספרים שנע בין 2 ל -2 שלילי עם סימני סימון לכל מספר שלם. הזהות מוצגת בתרשים בשורת המספרים, כאשר קו כהה משתרע לשני הכיוונים. אי השוויון כתוב גם בסימון מרווחים כסוגריים, אינסוף אינסוף פסיק שלילי, סוגריים.

    תרגיל \(\PageIndex{30}\)

    פתור את אי השוויון\(9h−7(2−h)<8(h+11)+8h\), גרף את הפתרון בשורת המספרים וכתוב את הפתרון בסימון מרווחים.

    תשובה

    נתון זה מראה אי שוויון שהוא זהות. מתחת לאי-שוויון זה נמצא קו מספרים שנע בין 2 ל -2 שלילי עם סימני סימון לכל מספר שלם. הזהות מוצגת בתרשים בשורת המספרים, כאשר קו כהה משתרע לשני הכיוונים. אי השוויון כתוב גם בסימון מרווחים כסוגריים, אינסוף אינסוף פסיק שלילי, סוגריים.

    תרגיל \(\PageIndex{31}\)

    פתור את אי השוויון\(\frac{1}{3}a - \frac{1}{8}a > \frac{5}{24}a + \frac{3}{4}\), גרף את הפתרון בשורת המספרים וכתוב את הפתרון בסימון מרווחים.

    תשובה
      .
    הכפל את שני הצדדים על ידי ה- LCD, 24, כדי לנקות את השברים. .
    לפשט. .
    לשלב מונחים כמו. .
    הפחת 5a משני הצדדים כדי לאסוף את המשתנים משמאל. .
    לפשט. .
    ההצהרה היא שקרית! אי השוויון הוא סתירה.
      אין פתרון.
    גרף את הפתרון בשורת המספרים. .
    כתוב את הפתרון בסימון מרווחים. אין פתרון.
    תרגיל \(\PageIndex{32}\)

    פתור את אי השוויון\(\frac{1}{4}x - \frac{1}{12}x > \frac{1}{6}x + \frac{7}{8}\), גרף את הפתרון בשורת המספרים וכתוב את הפתרון בסימון מרווחים.

    תשובה

    נתון זה מראה אי שוויון שהוא סתירה. להלן שורת מספרים שנעה בין 2 ל -2 שלילי עם סימני סימון לכל מספר שלם. אין אי שוויון בתרשים בשורת המספרים. מתחת לשורת המספרים מופיעה ההצהרה: "אין פיתרון".

    תרגיל \(\PageIndex{33}\)

    פתור את אי השוויון\(\frac{2}{5}z - \frac{1}{3}z < \frac{1}{15}z - \frac{3}{5}\), גרף את הפתרון בשורת המספרים וכתוב את הפתרון בסימון מרווחים.

    תשובה

    נתון זה מראה אי שוויון שהוא סתירה. להלן שורת מספרים שנעה בין 2 ל -2 שלילי עם סימני סימון לכל מספר שלם. אין אי שוויון בתרשים בשורת המספרים. מתחת לשורת המספרים מופיעה ההצהרה: "אין פיתרון".

    תרגם לאי-שוויון ופתור

    כדי לתרגם משפטים באנגלית לאי-שוויון, עלינו להכיר בביטויים המצביעים על אי השוויון. יש מילים קלות, כמו 'יותר מ 'ו'פחות מ'. אבל אחרים אינם ברורים.

    תחשוב על הביטוי "לפחות" - מה זה אומר להיות "לפחות בן 21"? זה אומר 21 או יותר. הביטוי 'לפחות' זהה ל"גדול או שווה ל '.

    הטבלה \(\PageIndex{4}\) [1]מציגה כמה ביטויים נפוצים המצביעים על אי שוויון.

    > \(\geq\) < \(\leq\)
    "ערך נתונים =" מחלקה אמצעית "=" lt-מתמטיקה-15134"> הוא גדול מ \ (\ geq\)" ערך נתונים="אמצע" מחלקה ="lt-מתמטיקה-15134"> הוא גדול או שווה ל הוא פחות מ \ (\ leq\)" ערך נתונים="אמצע" מחלקה ="lt-מתמטיקה-15134"> הוא פחות או שווה ל
    "ערך נתונים =" מחלקה אמצעית "=" lt-מתמטיקה-15134">הוא יותר מ \ (\ geq\)" ערך נתונים = "אמצע" מחלקה = "lt-מתמטיקה-15134"> הוא לפחות הוא קטן מ \ (\ leq\)" ערך נתונים="אמצע" מחלקה ="lt-מתמטיקה-15134"> הוא לכל היותר
    "ערך נתונים =" מחלקה אמצעית "=" lt-מתמטיקה-15134"> הוא גדול מ \ (\ geq\)" ערך נתונים="אמצע" מחלקה ="lt-מתמטיקה-15134">הוא לא פחות מ יש פחות מ \ (\ leq\)" ערך נתונים="אמצע" מחלקה ="lt-מתמטיקה-15134"> הוא לא יותר מ
    "ערך נתונים =" מחלקה אמצעית "=" lt-מתמטיקה-15134"> עולה \ (\ geq\)" ערך נתונים="אמצע" מחלקה ="lt-מתמטיקה-15134"> הוא המינימום הוא נמוך מ \ (\ leq\)" ערך נתונים="אמצע" מחלקה ="lt-מתמטיקה-15134"> הוא המקסימום
    טבלה \(\PageIndex{4}\)
    תרגיל \(\PageIndex{34}\)

    לתרגם ולפתור. לאחר מכן כתוב את הפתרון בסימון מרווח וגרף בשורת המספרים.

    שתים עשרה פעמים c הוא לא יותר מ 96.

    תשובה
    תרגם. .
    לפתור - לחלק את שני הצדדים על ידי 12. .
    לפשט. .
    כתוב בסימון מרווחים. .
    גרף בשורת המספרים. .
    תרגיל \(\PageIndex{35}\)

    לתרגם ולפתור. לאחר מכן כתוב את הפתרון בסימון מרווח וגרף בשורת המספרים.

    עשרים פעמים y הוא לכל היותר 100

    תשובה

    נתון זה מראה כי אי השוויון 20y הוא פחות או שווה ל 100, ולאחר מכן הפתרון שלה: y הוא פחות או שווה ל 5. מתחת לאי-שוויון זה נמצא קו מספרים שנע בין 4 ל -8 עם סימני סימון לכל מספר שלם. אי השוויון y קטן או שווה ל- 5 מופיע בתרשים בשורת המספרים, כאשר סוגר פתוח ב- y שווה ל- 5, וקו כהה המשתרע משמאל לתושבת. אי השוויון כתוב גם בסימון מרווחים כסוגריים, פסיק אינסוף שלילי 5, סוגר.

    תרגיל \(\PageIndex{36}\)

    לתרגם ולפתור. לאחר מכן כתוב את הפתרון בסימון מרווח וגרף בשורת המספרים.

    תשע פעמים z הוא לא פחות מ 135

    תשובה

    נתון זה מראה כי אי השוויון 9z גדול או שווה ל 135, ואז הפיתרון שלו: z גדול או שווה ל 15. מתחת לאי-שוויון זה נמצאת שורת מספרים הנעה בין 14 ל -18 עם סימני סימון לכל מספר שלם. אי השוויון z גדול או שווה ל- 15 מופיע בתרשים בשורת המספרים, כאשר סוגר פתוח ב- z שווה ל- 15, וקו כהה המשתרע מימין לסוגר. אי השוויון כתוב גם בסימון מרווחים כסוגר, 15 אינסוף פסיק, סוגריים.

    תרגיל \(\PageIndex{37}\)

    לתרגם ולפתור. לאחר מכן כתוב את הפתרון בסימון מרווח וגרף בשורת המספרים.

    שלושים פחות מ x הוא לפחות 45.

    תשובה
    תרגם. .
    לפתור - הוסף 30 לשני הצדדים. .
    לפשט. .
    כתוב בסימון מרווחים. .
    גרף בשורת המספרים. .
    תרגיל \(\PageIndex{38}\)

    לתרגם ולפתור. לאחר מכן כתוב את הפתרון בסימון מרווח וגרף בשורת המספרים.

    תשע עשרה פחות מ p הוא לא פחות מ 47

    תשובה

    נתון זה מראה את אי השוויון p מינוס 19 גדול או שווה ל 47, ואז הפיתרון שלו: p גדול או שווה ל 66. מתחת לאי-שוויון זה נמצא קו מספרים שנע בין 65 ל -69 עם סימני סימון לכל מספר שלם. אי השוויון p גדול או שווה ל- 66 מופיע בתרשים בשורת המספרים, כאשר סוגר פתוח ב- p שווה ל 66, וקו כהה המשתרע מימין לסוגר. אי השוויון כתוב גם בסימון מרווחים כסוגר, 66 אינסוף פסיק, סוגריים.

    תרגיל \(\PageIndex{39}\)

    לתרגם ולפתור. לאחר מכן כתוב את הפתרון בסימון מרווח וגרף בשורת המספרים.

    ארבע יותר מ-a זה לכל היותר 15.

    תשובה

    נתון זה מראה את אי השוויון פלוס 4 הוא פחות או שווה ל 15, ולאחר מכן הפתרון שלה: a הוא פחות או שווה ל 11. מתחת לאי-שוויון זה נמצאת שורת מספרים הנעה בין 10 ל -14 עם סימני סימון לכל מספר שלם. אי השוויון a קטן או שווה ל- 11 מופיע בתרשים בשורת המספרים, עם סוגר פתוח ב- 11 שווה, וקו כהה המשתרע משמאל לתושבת. אי השוויון כתוב גם בסימון מרווחים כסוגריים, אינסוף שלילי 11, סוגר.

    מושגי מפתח

    • תכונת חיסור של אי שוויון
      עבור מספרים כלשהם a, b ו- c, אם a & ltb אז a −c & ltb−c
      ואם a & gtb אז a−c & gtb−c.
    • תוספת נכס של אי שוויון
      לכל המספרים a, b ו- c, אם a <b אז a+c <b+c
      ואם a> b אז a+c> b+c.
    • מאפייני חלוקה וכפל של אי שוויון y
      <bc and ac>עבור כל המספרים a, b ו- c,
      אם a <b and c>0, אז ac bc.
      אם a> b ו- c & gt0, אז ac> bc ו- ac> bc.
      <0, then ac>אם a & ltb ו- cbc ו- ac> bc.
      אם a> b ו- c <0, אז ac<bc ו- ac<bc.
    • כאשר אנו מחלקים או מכפילים אי שוויון ב:
      • מספר חיובי, אי השוויון נשאר זהה.
      • מספר שלילי, אי השוויון מתהפך.