Skip to main content
Global

2.6: לפתור נוסחה למשתנה ספציפי

  • Page ID
    205590
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    מטרות למידה

    בסוף פרק זה, תוכל:

    • השתמש בנוסחת המרחק, הקצב והזמן
    • פתור נוסחה למשתנה ספציפי
    חידון

    לפני שתתחיל, קח את חידון המוכנות הזה.

    1. לפתור:\(15t=120\).
      אם פספסת בעיה זו, עיין בתרגיל 2.2.1.
    2. לפתור:\(6x+24=96\).
      אם פספסת בעיה זו, עיין בתרגיל 2.3.1.

    השתמש בנוסחת המרחק, הקצב והזמן

    נוסחה אחת שתשתמש בה לעתים קרובות באלגברה ובחיי היומיום היא הנוסחה למרחק שנסע על ידי אובייקט הנע בקצב קבוע. שיעור הוא מילה שווה ערך עבור "מהירות". הרעיון הבסיסי של שיעור אולי כבר מוכר לך. האם אתה יודע באיזה מרחק אתה נוסע אם אתה נוהג בקצב קבוע של 60 מייל לשעה למשך שעתיים? (זה עלול לקרות אם תשתמש בבקרת השיוט של המכונית שלך בזמן נסיעה בכביש המהיר.) אם אמרת 120 מיילים, אתה כבר יודע להשתמש בנוסחה זו!

    מרחק, קצב וזמן

    עבור אובייקט הנע בקצב אחיד (קבוע), המרחק שעבר, הזמן שחלף והקצב קשורים בנוסחה:

    \[\begin{array} {lllll}{ d = r t} &{\text { where }} &{ d} &{=} &{\text{distance}} \\ {} &{} &{ r} &{=} &{\text{rate}} \\{} &{} &{ t} &{=} &{\text{time}} \end{array}\]

    אנו נשתמש באסטרטגיה לפתרון יישומים בה השתמשנו קודם לכן בפרק זה. כאשר הבעיה שלנו דורשת נוסחה, אנו משנים את שלב 4. במקום כתיבת משפט אנו כותבים את הנוסחה המתאימה. אנו כותבים כאן את השלבים המתוקנים לעיון.

    לפתור יישום (עם נוסחה).
    1. קרא את הבעיה. ודא שכל המילים והרעיונות מובנים.
    2. זהה את מה שאנחנו מחפשים.
    3. תן שם למה שאנחנו מחפשים. בחר משתנה שייצג את הכמות הזו.
    4. תרגם למשוואה. כתוב את הנוסחה המתאימה למצב. תחליף במידע הנתון.
    5. לפתור את המשוואה באמצעות טכניקות אלגברה טובות.
    6. בדוק את התשובה בבעיה וודא שהיא הגיונית.
    7. ענה על השאלה במשפט שלם.

    ייתכן שתרצה ליצור תרשים מיני לסיכום המידע בבעיה. ראה את התרשים בדוגמה ראשונה זו.

    תרגיל \(\PageIndex{1}\)

    ג'מאל רוכב על אופניו בקצב אחיד של 12 מייל לשעה במשך \(3\frac{1}{2}\) שעות. איזה מרחק הוא נסע?

    תשובה
    שלב 1. קרא את הבעיה.  
    שלב 2. זהה את מה שאתה מחפש. מרחק נסיעה
    שלב 3. שם. בחר משתנה שייצג אותו. תן d = מרחק.
    שלב 4. תרגם: כתוב את הנוסחה המתאימה. \(d=rt\)
      .
    תחליף במידע הנתון. \(d = 12\cdot 3\frac{1}{2}\)
    שלב 5. לפתור את המשוואה. \(d=42\text{ miles}\)
    שלב 6. בדוק  
    האם 42 מיילים הגיוניים?  
    ג'מאל רוכב:  
    .  
    שלב 7. ענה על השאלה במשפט שלם. ג'מאל רכב 42 קילומטרים.
    תרגיל \(\PageIndex{2}\)

    לינדזי נסעה \(5\frac{1}{2}\) שעות במהירות של 60 מייל לשעה. כמה מרחק היא נסעה?

    תשובה

    330 מיילים

    תרגיל \(\PageIndex{3}\)

    טרין הלך \(2\frac{1}{3}\) שעות במהירות של 3 מייל לשעה. כמה רחוק היא הלכה?

    תשובה

    7 מיילים

    תרגיל \(\PageIndex{4}\)

    ריי מתכנן לנסוע מביתו בסן דייגו לבקר את סבתו בסקרמנטו, מרחק של 520 מייל. אם הוא יכול לנהוג בקצב קבוע של 65 מייל לשעה, כמה שעות ייקח הנסיעה?

    תשובה
    שלב 1. קרא את הבעיה.  
    שלב 2. זהה את מה שאתה מחפש. כמה שעות (זמן)
    שלב 3. שם.
    בחר משתנה שייצג אותו.
    תן t = זמן.
      .
    שלב 4. תרגם.
    כתוב את הנוסחה המתאימה.
    \(d=rt\)
    תחליף במידע הנתון. \(520 = 65t\)
    שלב 5. לפתור את המשוואה. \(t = 8\)
    שלב 6. בדוק. החלף את המספרים בנוסחה וודא שהתוצאה היא אמירה
    אמיתית.
     
    \(\begin{array}{lll} {d} &{=} &{rt} \\ {520} &{\stackrel{?}{=}} &{65\cdot 8}\\ {520} &{=} &{520\checkmark} \end{array}\)  
    שלב 7. ענה על השאלה במשפט שלם. הנסיעה של ריי תארך 8 שעות.
    תרגיל \(\PageIndex{5}\)

    לי רוצה לנסוע מפיניקס לדירת אחיו בסן פרנסיסקו, מרחק של 770 מיילים. אם הוא נוהג בקצב קבוע של 70 מייל לשעה, כמה שעות ייקח הנסיעה?

    תשובה

    11 שעות

    תרגיל \(\PageIndex{6}\)

    יסניה נמצאת במרחק של 168 קילומטרים משיקגו. אם היא צריכה להיות בשיקגו בעוד 3 שעות, באיזה קצב היא צריכה לנהוג?

    תשובה

    56 קמ"ש

    לפתור נוסחה למשתנה ספציפי

    אתה בטח מכיר כמה נוסחאות גיאומטריה. נוסחה היא תיאור מתמטי של הקשר בין משתנים. נוסחאות משמשות גם במדעים, כגון כימיה, פיזיקה וביולוגיה. ברפואה הם משמשים לחישובים למתן תרופות או לקביעת מדד מסת הגוף. תוכניות גיליון אלקטרוני מסתמכות על נוסחאות לביצוע חישובים. חשוב להכיר נוסחאות ולהיות מסוגלים לתפעל אותן בקלות.

    בתרגיל \(\PageIndex{1}\) ופעילות גופנית \(\PageIndex{4}\) השתמשנו בנוסחה\(d=rt\). נוסחה זו נותנת את הערך של d, מרחק, כאשר אתה מחליף בערכים של r ו- t, את הקצב והזמן. אבל בתרגיל\(\PageIndex{4}\), היינו צריכים למצוא את הערך של t החלפנו בערכים של d ו- r ואז השתמשנו באלגברה כדי לפתור tt. אם היית צריך לעשות את זה לעתים קרובות, אתה עשוי לתהות מדוע אין נוסחה שנותנת את הערך של t כאשר אתה מחליף את הערכים של d ו- r אנחנו יכולים לעשות נוסחה כזו על ידי פתרון הנוסחה \(d=rt\) עבור t.

    כדי לפתור נוסחה עבור משתנה מסוים פירושו לבודד את המשתנה בצד אחד של סימן שווה עם מקדם של 1. כל שאר המשתנים והקבועים נמצאים בצד השני של סימן השוויון. כדי לראות כיצד לפתור נוסחה למשתנה ספציפי, נתחיל בנוסחת המרחק, הקצב והזמן.

    תרגיל \(\PageIndex{7}\)

    לפתור את הנוסחה d = rt עבור t:

    1. כאשר d = 520 ו- r = 65
    2. באופן כללי
    תשובה

    נכתוב את הפתרונות זה לצד זה כדי להדגים שפתרון נוסחה באופן כללי משתמש באותם שלבים כמו כאשר יש לנו מספרים להחליף.

    1. כאשר d = 520 ו- r = 65 2. באופן כללי
    כתוב את הנוסחה. \(d=rt\) כתוב את הנוסחה. \(d=rt\)
    תחליף. \(520=65t\)    
    מחלקים, כדי לבודד t. \(\frac{520}{65} = \frac{65t}{65}\) מחלקים, כדי לבודד tt. \(\frac{d}{r} = \frac{rt}{t}\)
    לפשט. \(8 = t\) לפשט. \(\frac{d}{r}=t\)

    אנו אומרים שהנוסחה \(t = \frac{d}{r}\) נפתרת עבור t.

    תרגיל \(\PageIndex{8}\)

    לפתור את הנוסחה \(d=rt\) עבור r:

    1. כאשר d = 180 ו- t = 4
    2. באופן כללי
    תשובה
    1. \(r = 45\)
    2. \(r = \frac{d}{t}\)
    תרגיל \(\PageIndex{9}\)

    לפתור את הנוסחה \(d=rt\) עבור r:

    1. כאשר d = 780 ו- t = 12
    2. באופן כללי
    תשובה
    1. \(r = 65\)
    2. \(r = \frac{d}{rt\)
    תרגיל \(\PageIndex{10}\)

    לפתור את הנוסחה \(A = \frac{1}{2}bh\) עבור h:

    1. מתי \(A = 90\) ו \(b = 15\)
    2. באופן כללי
    תשובה
    1. מתי \(A = 90\) ו \(b = 15\) 2. באופן כללי
    כתוב את הנוסחה. . כתוב את הנוסחה. .
    תחליף. .    
    נקה את השברים. . נקה את השברים. .
    לפשט. . לפשט. .
    לפתור עבור h. . לפתור עבור hh. .
    כעת אנו יכולים למצוא את גובה המשולש, אם אנו מכירים את השטח והבסיס, באמצעות הנוסחה \(h = \frac{2A}{b}\)
    תרגיל \(\PageIndex{11}\)

    לפתור את הנוסחה \(A = \frac{1}{2}bh\) עבור h:

    1. מתי \(A = 170\) ו \(b = 17\)
    2. באופן כללי
    תשובה
    1. \(h = 20\)
    2. \(h = \frac{2A}{b}\)
    תרגיל \(\PageIndex{12}\)

    לפתור את הנוסחה \(A = \frac{1}{2}bh\) עבור h:

    1. מתי \(A = 62\) ו \(h = 31\)
    2. באופן כללי
    תשובה
    1. \(b = 4\)
    2. \(b = \frac{2A}{h}\)

    הנוסחה \(I=Prt\) משמשת לחישוב ריבית פשוטה, I, עבור קרן, P, מושקעת בשיעור, r, במשך t שנים.

    תרגיל \(\PageIndex{13}\)

    לפתור את הנוסחה I=Prt כדי למצוא את המנהל, P:

    1. כאשר אני = 5,600$, r = 4%, t = 7 שנים
    2. באופן כללי
    תשובה
    1. אני = 5,600 דולר, ר = 4%, ט = 7 שנים 2. באופן כללי
    כתוב את הנוסחה. . כתוב את הנוסחה. .
    תחליף. .    
    לפשט. . לפשט. .
    מחלקים, כדי לבודד את P. . מחלקים, כדי לבודד את P. .
    לפשט. . לפשט. .
    המנהלת היא .   .
    תרגיל \(\PageIndex{14}\)

    לפתור את הנוסחה I=Prt כדי למצוא את המנהל, P:

    1. כאשר אני = 2160$, r = 6%, t = 3 שנים
    2. באופן כללי
    תשובה
    1. $12000
    2. \(P = \frac{1}{rt}\)
    תרגיל \(\PageIndex{15}\)

    לפתור את הנוסחה I=Prt כדי למצוא את המנהל, P:

    1. כאשר אני = 5400$, r = 12%, t = 5 שנים
    2. באופן כללי
    תשובה
    1. $9000
    2. \(P = \frac{1}{rt}\)
    בהמשך השיעור הזה, ובשיעורי אלגברה עתידיים, תיתקל במשוואות המתייחסות לשני משתנים, בדרך כלל x ו- y. ייתכן שתינתן לך משוואה שנפתרת עבור y וצריך לפתור אותה עבור x, או להיפך. בדוגמה הבאה, ניתנת לנו משוואה עם x ו- y באותו צד ונפתור אותה עבור y.
    תרגיל \(\PageIndex{16}\)

    לפתור את הנוסחה 3x+2y = 18 עבור y:

    1. כאשר x = 4
    2. באופן כללי
    תשובה
    1. כאשר x = 4 2. באופן כללי
      .   .
    תחליף. .    
    הפחת כדי לבודד את
    מונח ה- y.
    . הפחת כדי לבודד את
    מונח ה- y.
    .
    לחלק. . לחלק. .
    לפשט. . לפשט. .
    תרגיל \(\PageIndex{17}\)

    לפתור את הנוסחה 3x+4y = 10 עבור y:

    1. מתי \(x = \frac{14}{3}\)
    2. באופן כללי
    תשובה
    1. \(y = -1\)
    2. \(y = \frac{10 - 3x}{4}\)
    תרגיל \(\PageIndex{18}\)

    לפתור את הנוסחה 5x+2y = 18 עבור y:

    1. מתי \(x = 4\)
    2. באופן כללי
    תשובה
    1. \(y = -1\)
    2. \(y = \frac{18 - 5x}{2}\)
    בתרגיל \(\PageIndex{7}\) באמצעות תרגיל \(\PageIndex{18}\) השתמשנו במספרים בחלק 1 כמדריך לפתרון באופן כללי בחלק 2. כעת נפתור נוסחה באופן כללי מבלי להשתמש במספרים כמדריך.
    תרגיל \(\PageIndex{19}\)

    לפתור את הנוסחה P = A+B+C עבור א.

    תשובה
    נבודד aa בצד אחד של המשוואה. .
    גם b וגם c מתווספים ל- a, ולכן אנו מחסרים אותם משני צידי המשוואה. .
    לפשט. .
    .
    תרגיל \(\PageIndex{20}\)

    לפתור את הנוסחה P = A+B+C עבור b.

    תשובה

    ב=פ−א−ג

    תרגיל \(\PageIndex{21}\)

    לפתור את הנוסחה P = A+B+C עבור c.

    תשובה

    ג=פ−א−ב

    תרגיל \(\PageIndex{22}\)

    לפתור את הנוסחה 6x+5y = 13 עבור y.

    תשובה
      .
    הפחת 6x משני הצדדים כדי לבודד את המונח עם y. .
    לפשט. .
    מחלקים ב -5 כדי להפוך את המקדם 1. .
    לפשט. .

    השבר הוא פשוט יותר. איננו יכולים לחלק 13-6x ב -5.

    תרגיל \(\PageIndex{23}\)

    לפתור את הנוסחה 4x+7y = 9 עבור y.

    תשובה

    \(y = \frac{9 - 4x}{7}\)

    תרגיל \(\PageIndex{24}\)

    לפתור את הנוסחה 5x+8y = 1 עבור y.

    תשובה

    \(y = \frac{1 - 5x}{8}\)

    מושגי מפתח

    • כדי לפתור יישום (עם נוסחה)
      1. קרא את הבעיה. ודא שכל המילים והרעיונות מובנים.
      2. זהה את מה שאנחנו מחפשים.
      3. תן שם למה שאנחנו מחפשים. בחר משתנה שייצג את הכמות הזו.
      4. תרגם למשוואה. כתוב את הנוסחה המתאימה למצב. תחליף במידע הנתון.
      5. לפתור את המשוואה באמצעות טכניקות אלגברה טובות.
      6. בדוק את התשובה בבעיה וודא שהיא הגיונית.
      7. ענה על השאלה במשפט שלם.
    • מרחק, קצב וזמן
      עבור אובייקט הנע בקצב אחיד (קבוע), המרחק שעבר, הזמן שחלף והקצב קשורים בנוסחה: d = rt כאשר d = מרחק, r = קצב, t = זמן.
    • לפתור נוסחה למשתנה ספציפי פירושו לקבל את המשתנה הזה בפני עצמו עם מקדם של 1 בצד אחד של המשוואה וכל שאר המשתנים והקבועים בצד השני.