Skip to main content
Global

2.5: לפתור משוואות עם שברים או עשרוניים

  • Page ID
    205596
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    מטרות למידה

    בסוף פרק זה תוכל:

    • לפתור משוואות עם מקדמי שבר
    • לפתור משוואות עם מקדמים עשרוניים
    הערה

    לפני שתתחיל, קח את חידון המוכנות הזה.

    1. הכפל:\(8\cdot 38\).
      אם פספסת בעיה זו, סקור את תרגיל 1.6.16.
    2. מצא את ה- LCD של \(\frac{5}{6}\) ו\(\frac{1}{4}\).
      אם פספסת בעיה זו, עיין בתרגיל 1.7.16.
    3. הכפל 4.78 על ידי 100.
      אם פספסת בעיה זו, סקור את תרגיל 1.8.22.

    לפתור משוואות עם מקדמי שבר

    בואו נשתמש באסטרטגיה הכללית לפתרון משוואות לינאריות שהוצגו קודם לכן כדי לפתור את המשוואה,\(\frac{1}{8}x+\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\).

      .
    כדי לבודד את מונח ה- x, גרעו \(\frac{1}{2}\) משני הצדדים. .
    פשט את הצד השמאלי. .
    שנה את הקבועים לשברים שווים עם ה- LCD. .
    לחסר. .
    הכפל את שני הצדדים על ידי ההדדיות של\(\frac{1}{8}\). .
    לפשט. .
    טבלה \(\PageIndex{1}\)

    שיטה זו עבדה מצוין, אך תלמידים רבים אינם חשים בטוחים במיוחד כאשר הם רואים את כל אותם שברים. לכן, אנו הולכים להציג שיטה חלופית לפתרון משוואות עם שברים. שיטה חלופית זו מבטלת את השברים.

    אנו ניישם את מאפיין הכפל של השוויון ונכפיל את שני צידי המשוואה במכנה הפחות משותף של כל השברים במשוואה. התוצאה של פעולה זו תהיה משוואה חדשה, שווה ערך לראשון, אך ללא שברים. תהליך זה נקרא "ניקוי" משוואת השברים.

    בואו נפתור משוואה דומה, אך הפעם נשתמש בשיטה שמבטלת את השברים.

    תרגיל \(\PageIndex{1}\): How to Solve Equations with Fraction Coefficients

    לפתור: \(\frac{1}{6}y - \frac{1}{3} = \frac{5}{6}\)

    תשובה

    נתון זה הוא טבלה הכוללת שלוש עמודות ושלוש שורות. העמודה הראשונה היא עמודת כותרת, והיא מכילה את השמות והמספרים של כל שלב. העמודה השנייה מכילה הוראות כתובות נוספות. העמודה השלישית מכילה מתמטיקה. בשורה העליונה של הטבלה, התא הראשון משמאל קורא: "שלב 1. מצא את המכנה הפחות משותף מכל השברים במשוואה." הטקסט בתא השני קורא: "מהו ה- LCD של 1/6, 1/3 ו- 5/6?" התא השלישי מכיל את המשוואה שישית y מינוס 1/3 שווה 5/6, כאשר LCD שווה 6 כתוב לידו.בשורה השנייה של הטבלה, התא הראשון אומר: "שלב 2. הכפל את שני צידי המשוואה באותו LCD. זה מנקה את השברים". בתא השני ההוראות אומרות: "הכפל את שני צידי המשוואה ב- LCD 6. השתמש בנכס החלוקה. פשוט - ושימו לב, לא עוד שברים!" התא השלישי מכיל את המשוואה 6 פעמים שישית y מינוס 1/3, עם שישית y מינוס 1/3 בסוגריים, שווה 6 פעמים 5/6, עם "6 פעמים" כתוב באדום משני הצדדים. להלן אותה משוואה עם 6 המופצים משני הצדדים: 6 פעמים שישית y מינוס 6 פעמים 1/3 שווה 6 פעמים 5/6. להלן המשוואה y מינוס 2 שווה 5.בשורה השלישית של הטבלה, התא הראשון אומר: "שלב 3. לפתור באמצעות האסטרטגיה הכללית לפתרון משוואות לינאריות." בתא השני, ההוראות אומרות: "לבודד את המונח x, להוסיף 2. לפשט." התא השלישי מכיל את המשוואה עם 2 שנוספו לשני הצדדים: y מינוס 2 פלוס 2 שווה 5 פלוס 2, כאשר "פלוס 2" כתוב באדום משני הצדדים. להלן המשוואה y שווה 7.

    תרגיל \(\PageIndex{2}\)

    לפתור: \(\frac{1}{4}x + \frac{1}{2} = \frac{5}{8}\)

    תשובה

    \(x= \frac{1}{2}\)

    תרגיל \(\PageIndex{3}\)

    לפתור: \(\frac{1}{8}x + \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\)

    תשובה

    \(x = -2\)

    שימו לב בתרגיל\(\PageIndex{1}\), ברגע שניקינו את משוואת השברים, המשוואה הייתה כמו אלה שפתרנו קודם בפרק זה. שינינו את הבעיה לאחת שכבר ידענו לפתור! לאחר מכן השתמשנו באסטרטגיה הכללית לפתרון משוואות לינאריות.

    אסטרטגיה לפתרון משוואות עם מקדמי שבר.
    1. מצא את המכנה הפחות משותף של כל השברים במשוואה.
    2. הכפל את שני צידי המשוואה באותו LCD. זה מנקה את השברים.
    3. לפתור באמצעות האסטרטגיה הכללית לפתרון משוואות לינאריות.
    תרגיל \(\PageIndex{4}\)

    לפתור: \(6 = \frac{1}{2}v + \frac{2}{5}v - \frac{3}{4}v\)

    תשובה

    אנו רוצים לנקות את השברים על ידי הכפלת שני צידי המשוואה ב- LCD של כל השברים במשוואה.

    מצא את ה- LCD של כל השברים במשוואה. .
    מסך ה- LCD הוא 20.  
    הכפל את שני צידי המשוואה ב- 20. .
    להפיץ. .
    פשוט - שימו לב, אין יותר שברים! .
    לשלב מונחים כמו. .
    מחלקים על ידי 3. .
    לפשט. .
    בדוק: .  
    תן v = 40. .  
      .  
      .  
    תרגיל \(\PageIndex{5}\)

    לפתור: \(7 = \frac{1}{2}x + \frac{3}{4}x - \frac{2}{3}x\)

    תשובה

    \(x = 12\)

    תרגיל \(\PageIndex{6}\)

    לפתור: \(-1 = \frac{1}{2}u + \frac{1}{4}u - \frac{2}{3}u\)

    תשובה

    \(u = -12\)

    בדוגמה הבאה, שוב יש לנו משתנים משני צידי המשוואה.

    תרגיל \(\PageIndex{7}\)

    לפתור: \(a + \frac{3}{4} = \frac{3}{8}a - \frac{1}{2}\)

    תשובה
      .
    מצא את ה- LCD של כל השברים במשוואה.
    מסך ה- LCD הוא 8.
     
    הכפל את שני הצדדים על ידי ה- LCD. .
    להפיץ. .
    פשוט - לא עוד שברים. .
    הפחת 3a3a משני הצדדים. .
    לפשט. .
    הפחת 6 משני הצדדים. .
    לפשט. .
    מחלקים על ידי 5. .
    לפשט. .
    בדוק: .  
    תן א=−2. .  
      .  
      .  
      .  
    תרגיל \(\PageIndex{8}\)

    לפתור: \(x + \frac{1}{3} = \frac{1}{6}x - \frac{1}{2}\)

    תשובה

    \(x = -1\)

    תרגיל \(\PageIndex{9}\)

    לפתור: \(c + \frac{3}{4} = \frac{1}{2}c - \frac{1}{4}\)

    תשובה

    \(c = -2\)

    בדוגמה הבאה, אנו מתחילים בשימוש בנכס החלוקה. שלב זה מנקה את השברים מיד.

    תרגיל \(\PageIndex{10}\)

    לפתור: \(-5 = \frac{1}{4}(8x + 4)\)

    תשובה
      .
    להפיץ. .
    לפשט.
    עכשיו אין שברים.
    .
    הפחת 1 משני הצדדים. .
    לפשט. .
    מחלקים על ידי 2. .
    לפשט. .
    בדוק: .  
    תן איקס=−3. .  
      .  
      .  
      .  
    תרגיל \(\PageIndex{11}\)

    לפתור: \(-11 = \frac{1}{2}(6p + 2)\)

    תשובה

    \(p = -4\)

    תרגיל \(\PageIndex{12}\)

    לפתור: \(8 = \frac{1}{3}(9q + 6)\)

    תשובה

    \(q = 2\)

    בדוגמה הבאה, גם לאחר ההפצה, עדיין יש לנו שברים לנקות.

    תרגיל \(\PageIndex{13}\)

    לפתור: \(\frac{1}{2}(y - 5) = \frac{1}{4}(y - 1)\)

    תשובה
      .
    להפיץ. .
    לפשט. .
    הכפל על ידי LCD, 4. .
    להפיץ. .
    לפשט. .
    אסוף את המשתנים משמאל. .
    לפשט. .
    לאסוף את הקבועים בצד ימין. .
    לפשט. .
    בדוק: .  
    תן y = 9. .  
    סיים את ההמחאה בעצמך.
    תרגיל \(\PageIndex{14}\)

    לפתור: \(\frac{1}{5}(n + 3) = \frac{1}{4}(n + 2)\)

    תשובה

    \(n = 2\)

    תרגיל \(\PageIndex{15}\)

    לפתור: \(\frac{1}{2}(m - 3) = \frac{1}{4}(m - 7)\)

    תשובה

    \(m = -1\)

    תרגיל \(\PageIndex{16}\)

    לפתור: \(\frac{5x - 3}{4} = \frac{x}{2}\)

    תשובה
      .
    הכפל על ידי LCD, 4. .
    לפשט. .
    אסוף את המשתנים מימין. .
    לפשט. .
    לחלק. .
    לפשט. .
    בדוק: .  
    תן x = 1. .  
      .  
      .  
    תרגיל \(\PageIndex{17}\)

    לפתור: \(\frac{4y - 7}{3} = \frac{y}{6}\)

    תשובה

    \(y = 2\)

    תרגיל \(\PageIndex{18}\)

    לפתור: \(\frac{-2z - 5}{4} = \frac{z}{8}\)

    תשובה

    \(z = -2\)

    תרגיל \(\PageIndex{19}\)

    לפתור: \(\frac{a}{6} + 2 = \frac{a}{4} + 3\)

    תשובה
      .
    הכפל על ידי LCD, 12. .
    להפיץ. .
    לפשט. .
    אסוף את המשתנים מימין. .
    לפשט. .
    לאסוף את הקבועים שמאלה. .
    לפשט. .
    בדוק: .  
    תן א=−12. .  
      .  
      .  
    תרגיל \(\PageIndex{20}\)

    לפתור: \(\frac{b}{10} + 2 = \frac{b}{4} + 5\)

    תשובה

    \(b = -20\)

    תרגיל \(\PageIndex{21}\)

    לפתור: \(\frac{c}{6} + 3 = \frac{c}{3} + 4\)

    תשובה

    \(c= -6\)

    תרגיל \(\PageIndex{22}\)

    לפתור: \(\frac{4q + 3}{2}+ 6 = \frac{3q + 5}{4}\)

    תשובה
      .
    הכפל על ידי LCD, 4. .
    להפיץ. .
    לפשט. .
    .
    .
    אסוף את המשתנים משמאל. .
    לפשט. .
    לאסוף את הקבועים בצד ימין. .
    לפשט. .
    מחלקים על ידי 5. .
    לפשט. .
    בדוק: .  
    תן ש = −5. .  
    סיים את ההמחאה בעצמך.
    תרגיל \(\PageIndex{23}\)

    לפתור: \(\frac{3r + 5}{6}+ 1 = \frac{4r + 3}{3}\)

    תשובה

    \(r = 1\)

    תרגיל \(\PageIndex{24}\)

    לפתור: \(\frac{2s + 3}{2}+ 1 = \frac{3s + 2}{4}\)

    תשובה

    \(s = -8\)

    לפתור משוואות עם מקדמים עשרוניים

    בחלק מהמשוואות יש עשרוניות. משוואה מסוג זה תתרחש כאשר נפתור בעיות בהתמודדות עם כסף או אחוזים. אבל עשרונים יכולים לבוא לידי ביטוי גם כשברים. לדוגמה, \(0.3 = \frac{3}{10}\) ו\(0.17 = \frac{17}{100}\). לכן, עם משוואה עם עשרונים, נוכל להשתמש באותה שיטה בה השתמשנו כדי לנקות שברים - להכפיל את שני צידי המשוואה במכנה הפחות משותף.

    תרגיל \(\PageIndex{25}\)

    לפתור: \(0.06x + 0.02 = 0.25x - 1.5\)

    תשובה

    התבונן בעשרונים וחשוב על השברים המקבילים.

    \(0.06 = \frac { 6 } { 100 } \quad 0.02 = \frac { 2 } { 100 } \quad 0.25 = \frac { 25 } { 100 } \quad 1.5 = 1 \frac { 5 } { 10 }\)

    שימו לב, ה- LCD הוא 100.

    על ידי הכפלת ה- LCD, ננקה את העשרונים מהמשוואה.

      .
    הכפל את שני הצדדים ב 100. .
    להפיץ. .
    הכפל, ועכשיו אין לנו יותר עשרונים. .
    אסוף את המשתנים מימין. .
    לפשט. .
    אסוף את המשתנים מימין. .
    לפשט. .
    מחלקים על ידי 19. .
    לפשט. .
    בדוק: תן ל- x = 8
    .
     
    תרגיל \(\PageIndex{26}\)

    לפתור: \(0.14h + 0.12 = 0.35h - 2.4\)

    תשובה

    \(h = 12\)

    תרגיל \(\PageIndex{27}\)

    לפתור: \(0.65k - 0.1 = 0.4k - 0.35\)

    תשובה

    \(k = -1\)

    הדוגמה הבאה משתמשת במשוואה האופיינית ליישומי הכסף בפרק הבא. שימו לב שאנחנו מפיצים את העשרוני לפני שאנחנו מנקים את כל העשרונים.

    תרגיל \(\PageIndex{28}\)

    לפתור: \(0.25x + 0.05(x + 3) = 2.85\)

    תשובה
      .
    להפיץ תחילה. .
    לשלב מונחים כמו. .
    כדי לנקות עשרונים, להכפיל על ידי 100. .
    להפיץ. .
    הפחת 15 משני הצדדים. .
    לפשט. .
    מחלקים על ידי 30. .
    לפשט. .
    בדוק זאת בעצמך על ידי החלפת x = 9 במשוואה המקורית.
    תרגיל \(\PageIndex{29}\)

    לפתור: \(0.25n + 0.05(n + 5) = 2.95\)

    תשובה

    \(n = 9\)

    תרגיל \(\PageIndex{30}\)

    לפתור: \(0.10d + 0.05(d -5) = 2.15\)

    תשובה

    \(d = 16\)

    מושגי מפתח

    • אסטרטגיה לפתרון משוואה עם מקדמי שבר
      1. מצא את המכנה הפחות משותף של כל השברים במשוואה.
      2. הכפל את שני צידי המשוואה באותו LCD. זה מנקה את השברים.
      3. לפתור באמצעות האסטרטגיה הכללית לפתרון משוואות לינאריות.