2.5: לפתור משוואות עם שברים או עשרוניים
- Page ID
- 205596
בסוף פרק זה תוכל:
- לפתור משוואות עם מקדמי שבר
- לפתור משוואות עם מקדמים עשרוניים
לפני שתתחיל, קח את חידון המוכנות הזה.
- הכפל:\(8\cdot 38\).
אם פספסת בעיה זו, סקור את תרגיל 1.6.16. - מצא את ה- LCD של \(\frac{5}{6}\) ו\(\frac{1}{4}\).
אם פספסת בעיה זו, עיין בתרגיל 1.7.16. - הכפל 4.78 על ידי 100.
אם פספסת בעיה זו, סקור את תרגיל 1.8.22.
לפתור משוואות עם מקדמי שבר
בואו נשתמש באסטרטגיה הכללית לפתרון משוואות לינאריות שהוצגו קודם לכן כדי לפתור את המשוואה,\(\frac{1}{8}x+\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\).
![]() |
|
כדי לבודד את מונח ה- x, גרעו \(\frac{1}{2}\) משני הצדדים. | ![]() |
פשט את הצד השמאלי. | ![]() |
שנה את הקבועים לשברים שווים עם ה- LCD. | ![]() |
לחסר. | ![]() |
הכפל את שני הצדדים על ידי ההדדיות של\(\frac{1}{8}\). | ![]() |
לפשט. | ![]() |
שיטה זו עבדה מצוין, אך תלמידים רבים אינם חשים בטוחים במיוחד כאשר הם רואים את כל אותם שברים. לכן, אנו הולכים להציג שיטה חלופית לפתרון משוואות עם שברים. שיטה חלופית זו מבטלת את השברים.
אנו ניישם את מאפיין הכפל של השוויון ונכפיל את שני צידי המשוואה במכנה הפחות משותף של כל השברים במשוואה. התוצאה של פעולה זו תהיה משוואה חדשה, שווה ערך לראשון, אך ללא שברים. תהליך זה נקרא "ניקוי" משוואת השברים.
בואו נפתור משוואה דומה, אך הפעם נשתמש בשיטה שמבטלת את השברים.
לפתור: \(\frac{1}{6}y - \frac{1}{3} = \frac{5}{6}\)
- תשובה
-
לפתור: \(\frac{1}{4}x + \frac{1}{2} = \frac{5}{8}\)
- תשובה
-
\(x= \frac{1}{2}\)
לפתור: \(\frac{1}{8}x + \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\)
- תשובה
-
\(x = -2\)
שימו לב בתרגיל\(\PageIndex{1}\), ברגע שניקינו את משוואת השברים, המשוואה הייתה כמו אלה שפתרנו קודם בפרק זה. שינינו את הבעיה לאחת שכבר ידענו לפתור! לאחר מכן השתמשנו באסטרטגיה הכללית לפתרון משוואות לינאריות.
- מצא את המכנה הפחות משותף של כל השברים במשוואה.
- הכפל את שני צידי המשוואה באותו LCD. זה מנקה את השברים.
- לפתור באמצעות האסטרטגיה הכללית לפתרון משוואות לינאריות.
לפתור: \(6 = \frac{1}{2}v + \frac{2}{5}v - \frac{3}{4}v\)
- תשובה
-
אנו רוצים לנקות את השברים על ידי הכפלת שני צידי המשוואה ב- LCD של כל השברים במשוואה.
מצא את ה- LCD של כל השברים במשוואה. מסך ה- LCD הוא 20. הכפל את שני צידי המשוואה ב- 20. להפיץ. פשוט - שימו לב, אין יותר שברים! לשלב מונחים כמו. מחלקים על ידי 3. לפשט. בדוק: תן v = 40.
לפתור: \(7 = \frac{1}{2}x + \frac{3}{4}x - \frac{2}{3}x\)
- תשובה
-
\(x = 12\)
לפתור: \(-1 = \frac{1}{2}u + \frac{1}{4}u - \frac{2}{3}u\)
- תשובה
-
\(u = -12\)
בדוגמה הבאה, שוב יש לנו משתנים משני צידי המשוואה.
לפתור: \(a + \frac{3}{4} = \frac{3}{8}a - \frac{1}{2}\)
- תשובה
-
מצא את ה- LCD של כל השברים במשוואה.
מסך ה- LCD הוא 8.הכפל את שני הצדדים על ידי ה- LCD. להפיץ. פשוט - לא עוד שברים. הפחת 3a3a משני הצדדים. לפשט. הפחת 6 משני הצדדים. לפשט. מחלקים על ידי 5. לפשט. בדוק: תן א=−2.
לפתור: \(x + \frac{1}{3} = \frac{1}{6}x - \frac{1}{2}\)
- תשובה
-
\(x = -1\)
לפתור: \(c + \frac{3}{4} = \frac{1}{2}c - \frac{1}{4}\)
- תשובה
-
\(c = -2\)
בדוגמה הבאה, אנו מתחילים בשימוש בנכס החלוקה. שלב זה מנקה את השברים מיד.
לפתור: \(-5 = \frac{1}{4}(8x + 4)\)
- תשובה
-
להפיץ. לפשט.
עכשיו אין שברים.הפחת 1 משני הצדדים. לפשט. מחלקים על ידי 2. לפשט. בדוק: תן איקס=−3.
לפתור: \(-11 = \frac{1}{2}(6p + 2)\)
- תשובה
-
\(p = -4\)
לפתור: \(8 = \frac{1}{3}(9q + 6)\)
- תשובה
-
\(q = 2\)
בדוגמה הבאה, גם לאחר ההפצה, עדיין יש לנו שברים לנקות.
לפתור: \(\frac{1}{2}(y - 5) = \frac{1}{4}(y - 1)\)
- תשובה
-
להפיץ. לפשט. הכפל על ידי LCD, 4. להפיץ. לפשט. אסוף את המשתנים משמאל. לפשט. לאסוף את הקבועים בצד ימין. לפשט. בדוק: תן y = 9. סיים את ההמחאה בעצמך.
לפתור: \(\frac{1}{5}(n + 3) = \frac{1}{4}(n + 2)\)
- תשובה
-
\(n = 2\)
לפתור: \(\frac{1}{2}(m - 3) = \frac{1}{4}(m - 7)\)
- תשובה
-
\(m = -1\)
לפתור: \(\frac{5x - 3}{4} = \frac{x}{2}\)
- תשובה
-
הכפל על ידי LCD, 4. לפשט. אסוף את המשתנים מימין. לפשט. לחלק. לפשט. בדוק: תן x = 1.
לפתור: \(\frac{4y - 7}{3} = \frac{y}{6}\)
- תשובה
-
\(y = 2\)
לפתור: \(\frac{-2z - 5}{4} = \frac{z}{8}\)
- תשובה
-
\(z = -2\)
לפתור: \(\frac{a}{6} + 2 = \frac{a}{4} + 3\)
- תשובה
-
הכפל על ידי LCD, 12. להפיץ. לפשט. אסוף את המשתנים מימין. לפשט. לאסוף את הקבועים שמאלה. לפשט. בדוק: תן א=−12.
לפתור: \(\frac{b}{10} + 2 = \frac{b}{4} + 5\)
- תשובה
-
\(b = -20\)
לפתור: \(\frac{c}{6} + 3 = \frac{c}{3} + 4\)
- תשובה
-
\(c= -6\)
לפתור: \(\frac{4q + 3}{2}+ 6 = \frac{3q + 5}{4}\)
- תשובה
-
הכפל על ידי LCD, 4. להפיץ. לפשט.
אסוף את המשתנים משמאל. לפשט. לאסוף את הקבועים בצד ימין. לפשט. מחלקים על ידי 5. לפשט. בדוק: תן ש = −5. סיים את ההמחאה בעצמך.
לפתור: \(\frac{3r + 5}{6}+ 1 = \frac{4r + 3}{3}\)
- תשובה
-
\(r = 1\)
לפתור: \(\frac{2s + 3}{2}+ 1 = \frac{3s + 2}{4}\)
- תשובה
-
\(s = -8\)
לפתור משוואות עם מקדמים עשרוניים
בחלק מהמשוואות יש עשרוניות. משוואה מסוג זה תתרחש כאשר נפתור בעיות בהתמודדות עם כסף או אחוזים. אבל עשרונים יכולים לבוא לידי ביטוי גם כשברים. לדוגמה, \(0.3 = \frac{3}{10}\) ו\(0.17 = \frac{17}{100}\). לכן, עם משוואה עם עשרונים, נוכל להשתמש באותה שיטה בה השתמשנו כדי לנקות שברים - להכפיל את שני צידי המשוואה במכנה הפחות משותף.
לפתור: \(0.06x + 0.02 = 0.25x - 1.5\)
- תשובה
-
התבונן בעשרונים וחשוב על השברים המקבילים.
\(0.06 = \frac { 6 } { 100 } \quad 0.02 = \frac { 2 } { 100 } \quad 0.25 = \frac { 25 } { 100 } \quad 1.5 = 1 \frac { 5 } { 10 }\)
שימו לב, ה- LCD הוא 100.
על ידי הכפלת ה- LCD, ננקה את העשרונים מהמשוואה.
הכפל את שני הצדדים ב 100. להפיץ. הכפל, ועכשיו אין לנו יותר עשרונים. אסוף את המשתנים מימין. לפשט. אסוף את המשתנים מימין. לפשט. מחלקים על ידי 19. לפשט. בדוק: תן ל- x = 8
לפתור: \(0.14h + 0.12 = 0.35h - 2.4\)
- תשובה
-
\(h = 12\)
לפתור: \(0.65k - 0.1 = 0.4k - 0.35\)
- תשובה
-
\(k = -1\)
הדוגמה הבאה משתמשת במשוואה האופיינית ליישומי הכסף בפרק הבא. שימו לב שאנחנו מפיצים את העשרוני לפני שאנחנו מנקים את כל העשרונים.
לפתור: \(0.25x + 0.05(x + 3) = 2.85\)
- תשובה
-
להפיץ תחילה. לשלב מונחים כמו. כדי לנקות עשרונים, להכפיל על ידי 100. להפיץ. הפחת 15 משני הצדדים. לפשט. מחלקים על ידי 30. לפשט. בדוק זאת בעצמך על ידי החלפת x = 9 במשוואה המקורית.
לפתור: \(0.25n + 0.05(n + 5) = 2.95\)
- תשובה
-
\(n = 9\)
לפתור: \(0.10d + 0.05(d -5) = 2.15\)
- תשובה
-
\(d = 16\)
מושגי מפתח
- אסטרטגיה לפתרון משוואה עם מקדמי שבר
- מצא את המכנה הפחות משותף של כל השברים במשוואה.
- הכפל את שני צידי המשוואה באותו LCD. זה מנקה את השברים.
- לפתור באמצעות האסטרטגיה הכללית לפתרון משוואות לינאריות.