Skip to main content
Global

2.4: השתמש באסטרטגיה כללית לפתרון משוואות לינאריות

  • Page ID
    205569
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    מטרות למידה

    בסוף פרק זה, תוכל:

    • לפתור משוואות באמצעות אסטרטגיה כללית
    • סיווג משוואות
    הערה

    לפני שתתחיל, קח את חידון המוכנות הזה.

    1. פשט:\(−(a−4)\).
      אם פספסת בעיה זו, עיין בתרגיל 1.10.46
    2. הכפל: \(\frac{3}{2}(12x+20)\)
      אם פספסת בעיה זו, עיין בתרגיל 1.10.34.
    3. פשט: \(5−2(n+1)\)
      אם פספסת בעיה זו, עיין בתרגיל 1.10.49.
    4. הכפל: \(3(7y+9)\)
      אם פספסת בעיה זו, עיין בתרגיל 1.10.34.
    5. הכפל: \((2.5)(6.4)\)
      אם פספסת בעיה זו, סקור את תרגיל 1.8.19.

    לפתור משוואות באמצעות האסטרטגיה הכללית

    עד כה עסקנו בפתרון צורה ספציפית אחת של משוואה לינארית. הגיע הזמן לפרוש אסטרטגיה כוללת אחת שניתן להשתמש בה כדי לפתור כל משוואה לינארית. כמה משוואות שנפתור לא ידרשו את כל השלבים הללו כדי לפתור, אך רבים יעשו זאת.

    החל מפשט כל צד של המשוואה מקל על השלבים הנותרים.

    תרגיל \(\PageIndex{1}\): How to Solve Linear Equations Using the General Strategy

    לפתור:\(-6(x + 3) = 24\).

    תשובה

    נתון זה הוא טבלה הכוללת שלוש עמודות וחמש שורות. העמודה הראשונה היא עמודת כותרת, והיא מכילה את השמות והמספרים של כל שלב. העמודה השנייה מכילה הוראות כתובות נוספות. העמודה השלישית מכילה מתמטיקה. בשורה העליונה של הטבלה, התא הראשון משמאל קורא: "שלב 1. פשט כל צד של המשוואה ככל האפשר." הטקסט בתא השני כתוב: "השתמש במאפיין החלוקה. שימו לב שכל צד של המשוואה מפושט ככל האפשר." התא השלישי מכיל את המשוואה שלילית 6 פעמים x פלוס 3, כאשר x פלוס 3 נמצא בסוגריים, שווה ל 24. להלן אותה משוואה עם 6 השלילי המופץ על פני הסוגריים: שלילי 6x מינוס 18 שווה 24.שלב 2. אסוף את כל המונחים המשתנים בצד אחד של המשוואה. כאן אין עוד מה לעשות, מכיוון שיש רק x אחד בצד שמאל.בשורה השלישית של הטבלה, התא הראשון אומר: "שלב 3. אסוף מונחים קבועים בצד השני של המשוואה. בתא השני, ההוראות אומרות: "כדי לקבל קבועים רק בצד ימין, להוסיף 18 לכל צד. לפשט." התא השלישי מכיל את אותה משוואה עם 18 שנוספו לשני הצדדים: שלילי 6x מינוס 18 פלוס 18 שווה 24 פלוס 18. להלן המשוואה השלילית 6x שווה 42.שלב 4. הפוך את המקדם של x אחד. כאן אנו מחלקים את שני הצדדים ב -6 ומפשטים!בשורה החמישית של הטבלה, התא הראשון אומר: "שלב 5. בדוק את הפתרון". בתא השני ההוראות אומרות: "תן ל- x להיות שווה לשלילה 7. לפשט. הכפל." בתא השלישי, יש את ההוראה: "בדוק", ומשמאל זה המשוואה המקורית שוב: שלילי 6 פעמים x פלוס 3, עם x פלוס 3 בסוגריים, שווה 24. להלן אותה משוואה עם 7 שלילי שהוחלף ב- x: שלילי 6 פעמים שלילי 7 פלוס 3, עם 7 פלוס 3 שלילי בסוגריים, עשוי להיות שווה ל 24. להלן המשוואה שלילית 6 פעמים שלילית 4 עשויה להיות שווה ל 24. מתחת לזה משוואה 24 שווה ל 24, עם סימן ביקורת לצידה.

    תרגיל \(\PageIndex{2}\)

    לפתור: \(5(x + 3)=35\)

    תשובה

    \(x = 4\)

    תרגיל \(\PageIndex{3}\)

    לפתור: \(6(y - 4) = -18\)

    תשובה

    \(y = 1\)

    אסטרטגיה כללית לפתרון משוואות לינאריות.
    1. פשט כל צד של המשוואה ככל האפשר.
      השתמש במאפיין החלוקה כדי להסיר סוגריים כלשהם.
      לשלב מונחים כמו.
    2. אסוף את כל המונחים המשתנים בצד אחד של המשוואה.
      השתמש במאפיין ההוספה או החיסור של שוויון.
    3. אסוף את כל המונחים הקבועים בצד השני של המשוואה.
      השתמש במאפיין ההוספה או החיסור של שוויון.
    4. הפוך את המקדם של המונח המשתנה לשווה ל -1.
      השתמש במאפיין הכפל או החלוקה של שוויון.
      ציין את הפתרון למשוואה.
    5. בדוק את הפתרון. החלף את הפתרון במשוואה המקורית כדי לוודא שהתוצאה היא אמירה אמיתית.
    תרגיל \(\PageIndex{4}\)

    לפתור: \(-(y + 9) = 8\)

    תשובה
      .
    פשט כל צד של המשוואה ככל האפשר על ידי הפצה. .
    המונח y היחיד נמצא בצד שמאל, כך שכל מונחי המשתנים נמצאים בצד שמאל של המשוואה.  
    הוסף 9 לשני הצדדים כדי לקבל את כל המונחים הקבועים בצד ימין של המשוואה. .
    לפשט. .
    כתוב מחדש −y כ -1 y. .
    הפוך את המקדם של המונח המשתנה לשווה ל -1 על ידי חלוקת שני הצדדים ב -1. .
    לפשט. .
    בדוק: .  
    תן y = −17. .  
      .  
      .  
    תרגיל \(\PageIndex{5}\)

    לפתור: \(-(y + 8) = -2\)

    תשובה

    \(y = -6\)

    תרגיל \(\PageIndex{6}\)

    לפתור: \(-(z + 4) = -12\)

    תשובה

    \(z = 8\)

    תרגיל \(\PageIndex{7}\)

    לפתור: \(5(a - 3) + 5 = -10\)

    תשובה
      .
    פשט כל צד של המשוואה ככל האפשר.  
    להפיץ. .
    לשלב מונחים כמו. .
    המונח היחיד נמצא בצד שמאל, כך שכל המונחים המשתנים נמצאים בצד אחד של המשוואה.  
    הוסף 10 לשני הצדדים כדי לקבל את כל המונחים הקבועים בצד השני של המשוואה. .
    לפשט. .
    הפוך את המקדם של המונח המשתנה לשווה ל 11 על ידי חלוקת שני הצדדים ב 55. .
    לפשט. .
    בדוק: .  
    תן a=0. .  
      .  
      .  
      .  
    תרגיל \(\PageIndex{8}\)

    לפתור: \(2(m - 4) + 3 = -1\)

    תשובה

    \(m = 2\)

    תרגיל \(\PageIndex{9}\)

    לפתור: \(7(n - 3) - 8 = -15\)

    תשובה

    \(n = 2\)

    תרגיל \(\PageIndex{10}\)

    לפתור: \(\frac{2}{3}(6m - 3) = 8 - m\)

    תשובה
      .
    להפיץ. .
    הוסף m כדי לקבל את המשתנים רק משמאל. .
    לפשט. .
    הוסף 2 כדי לקבל קבועים רק בצד ימין. .
    לפשט. .
    מחלקים על ידי 5. .
    לפשט. .
    בדוק: .  
    תן ל- m = 2. .  
      .  
      .  
      .  
    תרגיל \(\PageIndex{11}\)

    לפתור: \(\frac{1}{3}(6u + 3) = 7 - u\)

    תשובה

    \(u = 2\)

    תרגיל \(\PageIndex{12}\)

    לפתור: \(\frac{2}{3}(9x - 12) = 8 + 2x\)

    תשובה

    \(x = 4\)

    תרגיל \(\PageIndex{13}\)

    לפתור: \(8 - 2(3y + 5) = 0\)

    תשובה
      .
    בפשטות - השתמש במאפיין החלוקה. .
    לשלב מונחים כמו. .
    הוסף 2 לשני הצדדים כדי לאסוף קבועים בצד ימין. .
    לפשט. .
    מחלקים את שני הצדדים ב -6-6. .
    לפשט. .

    בדוק: תן y = −13.

    .

     
    תרגיל \(\PageIndex{14}\)

    לפתור: \(12 - 3(4j + 3) = -17\)

    תשובה

    \(j = \frac{5}{3}\)

    תרגיל \(\PageIndex{15}\)

    לפתור: \(-6 - 8(k - 2) = -10\)

    תשובה

    \(k = \frac{5}{2}\)

    תרגיל \(\PageIndex{16}\)

    לפתור: \(4(x - 1)-2=5(2x+3)+6\)

    תשובה
      .
    להפיץ. .
    לשלב מונחים כמו. .
    הפחת 4x כדי לקבל את המשתנים רק בצד ימין מאז\(10>4\). .
    לפשט. .
    הפחת 21 כדי לקבל את הקבועים בצד שמאל. .
    לפשט. .
    מחלקים על ידי 6. .
    לפשט. .
    בדוק: .  
    תן\(x=-\frac{9}{2}\). .  
      .  
      .  
      .  
      .  
    תרגיל \(\PageIndex{17}\)

    לפתור: \(6(p-3)-7=5(4p+3)-12\)

    תשובה

    \(p = -2\)

    תרגיל \(\PageIndex{18}\)

    לפתור: \(8(q +1)-5=3(2q-4)-1\)

    תשובה

    \(q = -8\)

    תרגיל \(\PageIndex{19}\)

    לפתור: \(10[3 - 8(2s-5)] = 15(40 - 5s)\)

    תשובה
      .
    פשט תחילה מהסוגריים הפנימיים ביותר. .
    שלב מונחים כמו בסוגריים. .
    להפיץ. .
    הוסף 160 כדי לקבל את ה-s ימינה. .
    לפשט. .
    הפחת 600 כדי לקבל את הקבועים שמאלה. .
    לפשט. .
    לחלק. .
    לפשט. .
    בדוק: .  
    תחליף s=−2. .  
      .  
      .  
      .  
      .  
      .  
    תרגיל \(\PageIndex{20}\)

    לפתור:\(6[4−2(7y−1)]=8(13−8y)\).

    תשובה

    \(y = -\frac{17}{5}\)

    תרגיל \(\PageIndex{21}\)

    לפתור:\(12[1−5(4z−1)]=3(24+11z)\).

    תשובה

    \(z = 0\)

    תרגיל \(\PageIndex{22}\)

    לפתור:\(0.36(100n+5)=0.6(30n+15)\).

    תשובה
      .
    להפיץ. .
    הפחת 18n כדי לקבל את המשתנים שמאלה. .
    לפשט. .
    הפחת 1.8 כדי לקבל את הקבועים ימינה. .
    לפשט. .
    לחלק. .
    לפשט. .
    בדוק: .  
    תן n = 0.4. .  
      .  
      .  
      .  
    תרגיל \(\PageIndex{23}\)

    לפתור:\(0.55(100n+8)=0.6(85n+14)\).

    תשובה

    \(n = 1\)

    תרגיל \(\PageIndex{24}\)

    לפתור:\(0.15(40m−120)=0.5(60m+12)\).

    תשובה

    \(m = -1\)

    סיווג משוואות

    שקול את המשוואה שפתרנו בתחילת הסעיף האחרון, 7x+8 = −13. הפתרון שמצאנו היה איקס=−3. המשמעות היא שהמשוואה 7x+8 = −13 נכונה כאשר אנו מחליפים את המשתנה, x, בערך -3. הראינו זאת כאשר בדקנו את הפתרון איקס=−3 והערכנו 7x+8=−13 עבור איקס=−3.

    איור זה מראה מדוע אנו יכולים לומר שהמשוואה 7x פלוס 8 שווה לשלילה 13 נכונה כאשר המשתנה x מוחלף בערך שלילי 3. השורה הראשונה מציגה את המשוואה עם 3 שלילי שהוחלף ב- x: 7 פעמים שליליות 3 פלוס 8 עשויות להיות שוות לשלילה 13. להלן המשוואה שלילית 21 פלוס 8 עשויה להיות שווה שלילית 13. מתחת לזה נמצאת המשוואה שלילית 13 שווה לשלילה 13, עם סימן ביקורת לצידה.

    אם נעריך 7x+8 לערך אחר של x, הצד השמאלי לא יהיה -13.

    המשוואה 7x+8=−13 נכונה כאשר אנו מחליפים את המשתנה, איקס, בערך -3, אך לא נכון כאשר אנו מחליפים איקס בכל ערך אחר. האם המשוואה 7x+8=−13 נכונה או לא תלויה בערך המשתנה. משוואות כאלה נקראות משוואות מותנות.

    כל המשוואות שפתרנו עד כה הן משוואות מותנות.

    משוואה מותנית

    משוואה שנכונה לערך אחד או יותר של המשתנה ושקרית עבור כל שאר הערכים של המשתנה היא משוואה מותנית.

    עכשיו בואו ניקח בחשבון את המשוואה 2y+6 = 2 (y+3). האם אתה מזהה שהצד השמאלי והצד הימני שווים? בואו נראה מה קורה כשאנחנו פותרים עבור y.

      .
    להפיץ. .
    הפחת 2y כדי לקבל את ה- y לצד אחד. .
    פשוט - ה- y נעלמו! .

    אבל 6=6 זה נכון.

    המשמעות היא שהמשוואה 2y+6 = 2 (y+3) נכונה לכל ערך של y. אנו אומרים שהפתרון למשוואה הוא כל המספרים האמיתיים. משוואה שנכונה לכל ערך של המשתנה כזה נקראת זהות.

    זהות

    משוואה שנכונה לכל ערך של המשתנה נקראת זהות.

    הפתרון של זהות הוא כל המספרים האמיתיים.

    מה קורה כשאנחנו פותרים את המשוואה 5z = 5z−1?

      .
    הפחת 5z כדי לקבל את הקבוע לבד בצד ימין. .
    פשוט - ה- z נעלמו! .

    אבל\(0\neq −1\).

    פתרון המשוואה 5z = 5z−1 הוביל להצהרה הכוזבת 0=−1. המשוואה 5z = 5z−1 לא תהיה נכונה לגבי שום ערך של z אין לה פתרון. משוואה שאין לה פיתרון, או שהיא שקרית לכל ערכי המשתנה, נקראת סתירה.

    סתירה

    משוואה שקרית לכל ערכי המשתנה נקראת סתירה.

    לסתירה אין פיתרון.

    תרגיל \(\PageIndex{25}\)

    סווג את המשוואה כמשוואה מותנית, זהות או סתירה. לאחר מכן ציין את הפתרון.

    \(6(2n−1)+3=2n−8+5(2n+1)\)


    תשובה
    .
    להפיץ. .
    לשלב מונחים כמו. .
    הפחת 12n כדי לקבל את nn לצד אחד. .
    לפשט. .
    זו אמירה אמיתית. המשוואה היא זהות.
    הפתרון הוא כל המספרים האמיתיים.
    תרגיל \(\PageIndex{26}\)

    סווג את המשוואה כמשוואה מותנית, זהות או סתירה ואז ציין את הפיתרון:

    \(4+9(3x−7)=−42x−13+23(3x−2)\)


    תשובה

    זהות; כל המספרים האמיתיים

    תרגיל \(\PageIndex{27}\)

    סווג את המשוואה כמשוואה מותנית, זהות או סתירה ואז ציין את הפיתרון:

    \(8(1−3x)+15(2x+7)=2(x+50)+4(x+3)+1\)


    תשובה

    זהות; כל המספרים האמיתיים

    תרגיל \(\PageIndex{28}\)

    סווג כמשוואה מותנית, זהות או סתירה. לאחר מכן ציין את הפתרון.

    \(10+4(p−5)=0\)


    תשובה
      .
    להפיץ. .
    לשלב מונחים כמו. .
    הוסף 10 לשני הצדדים. .
    לפשט. .
    לחלק. .
    לפשט. .
    המשוואה נכונה מתי\(p = frac{5}{2}\). זוהי משוואה מותנית.
    הפתרון הוא\(p = frac{5}{2}\).
    תרגיל \(\PageIndex{29}\)

    סווג את המשוואה כמשוואה מותנית, זהות או סתירה ואז ציין את הפיתרון: \(11(q+3)−5=19\)

    תשובה

    משוואה מותנית;\ (q =\ frac {9} {11}\

    תרגיל \(\PageIndex{30}\)

    סווג את המשוואה כמשוואה מותנית, זהות או סתירה ואז ציין את הפיתרון: \(6+14(k−8)=95\)

    תשובה

    משוואה מותנית; \(k = \frac{193}{14}\)

    תרגיל \(\PageIndex{31}\)

    סווג את המשוואה כמשוואה מותנית, זהות או סתירה. לאחר מכן ציין את הפתרון.

    \(5m+3(9+3m)=2(7m−11)\)


    תשובה
      .
    להפיץ. .
    לשלב מונחים כמו. .
    הפחת 14 מ 'משני הצדדים. .
    לפשט. .
    אבל\(27\neq −22\). המשוואה היא סתירה.
    אין לזה פתרון.
    תרגיל \(\PageIndex{32}\)

    סווג את המשוואה כמשוואה מותנית, זהות או סתירה ואז ציין את הפיתרון:

    \(12c+5(5+3c)=3(9c−4)\)


    תשובה

    סתירה; אין פתרון

    תרגיל \(\PageIndex{33}\)

    סווג את המשוואה כמשוואה מותנית, זהות או סתירה ואז ציין את הפיתרון:

    \(4(7d+18)=13(3d−2)−11d\)


    תשובה

    סתירה; אין פתרון

    סוג המשוואה מה קורה כשאתה פותר את זה? פתרון
    משוואה מותנית נכון לערך אחד או יותר של המשתנים ושקר עבור כל הערכים האחרים ערך אחד או יותר
    זהות נכון לכל ערך של המשתנה כל המספרים האמיתיים
    סתירה False עבור כל הערכים של המשתנה אין פתרון

    מושגי מפתח

    • אסטרטגיה כללית לפתרון משוואות לינאריות
      1. פשט כל צד של המשוואה ככל האפשר.
        השתמש במאפיין החלוקה כדי להסיר סוגריים כלשהם.
        לשלב מונחים כמו.
      2. אסוף את כל המונחים המשתנים בצד אחד של המשוואה.
        השתמש במאפיין ההוספה או החיסור של שוויון.
      3. אסוף את כל המונחים הקבועים בצד השני של המשוואה.
        השתמש במאפיין ההוספה או החיסור של שוויון.
      4. הפוך את המקדם של המונח המשתנה לשווה ל -1.
        השתמש במאפיין הכפל או החלוקה של שוויון.
        ציין את הפתרון למשוואה.
      5. בדוק את הפתרון.
        החלף את הפתרון למשוואה המקורית.