2.4: השתמש באסטרטגיה כללית לפתרון משוואות לינאריות
- Page ID
- 205569
בסוף פרק זה, תוכל:
- לפתור משוואות באמצעות אסטרטגיה כללית
- סיווג משוואות
לפני שתתחיל, קח את חידון המוכנות הזה.
- פשט:\(−(a−4)\).
אם פספסת בעיה זו, עיין בתרגיל 1.10.46 - הכפל: \(\frac{3}{2}(12x+20)\)
אם פספסת בעיה זו, עיין בתרגיל 1.10.34. - פשט: \(5−2(n+1)\)
אם פספסת בעיה זו, עיין בתרגיל 1.10.49. - הכפל: \(3(7y+9)\)
אם פספסת בעיה זו, עיין בתרגיל 1.10.34. - הכפל: \((2.5)(6.4)\)
אם פספסת בעיה זו, סקור את תרגיל 1.8.19.
לפתור משוואות באמצעות האסטרטגיה הכללית
עד כה עסקנו בפתרון צורה ספציפית אחת של משוואה לינארית. הגיע הזמן לפרוש אסטרטגיה כוללת אחת שניתן להשתמש בה כדי לפתור כל משוואה לינארית. כמה משוואות שנפתור לא ידרשו את כל השלבים הללו כדי לפתור, אך רבים יעשו זאת.
החל מפשט כל צד של המשוואה מקל על השלבים הנותרים.
לפתור:\(-6(x + 3) = 24\).
- תשובה
-
לפתור: \(5(x + 3)=35\)
- תשובה
-
\(x = 4\)
לפתור: \(6(y - 4) = -18\)
- תשובה
-
\(y = 1\)
- פשט כל צד של המשוואה ככל האפשר.
השתמש במאפיין החלוקה כדי להסיר סוגריים כלשהם.
לשלב מונחים כמו. - אסוף את כל המונחים המשתנים בצד אחד של המשוואה.
השתמש במאפיין ההוספה או החיסור של שוויון. - אסוף את כל המונחים הקבועים בצד השני של המשוואה.
השתמש במאפיין ההוספה או החיסור של שוויון. - הפוך את המקדם של המונח המשתנה לשווה ל -1.
השתמש במאפיין הכפל או החלוקה של שוויון.
ציין את הפתרון למשוואה. - בדוק את הפתרון. החלף את הפתרון במשוואה המקורית כדי לוודא שהתוצאה היא אמירה אמיתית.
לפתור: \(-(y + 9) = 8\)
- תשובה
-
פשט כל צד של המשוואה ככל האפשר על ידי הפצה. המונח y היחיד נמצא בצד שמאל, כך שכל מונחי המשתנים נמצאים בצד שמאל של המשוואה. הוסף 9 לשני הצדדים כדי לקבל את כל המונחים הקבועים בצד ימין של המשוואה. לפשט. כתוב מחדש −y כ -1 y. הפוך את המקדם של המונח המשתנה לשווה ל -1 על ידי חלוקת שני הצדדים ב -1. לפשט. בדוק: תן y = −17.
לפתור: \(-(y + 8) = -2\)
- תשובה
-
\(y = -6\)
לפתור: \(-(z + 4) = -12\)
- תשובה
-
\(z = 8\)
לפתור: \(5(a - 3) + 5 = -10\)
- תשובה
-
פשט כל צד של המשוואה ככל האפשר. להפיץ. לשלב מונחים כמו. המונח היחיד נמצא בצד שמאל, כך שכל המונחים המשתנים נמצאים בצד אחד של המשוואה. הוסף 10 לשני הצדדים כדי לקבל את כל המונחים הקבועים בצד השני של המשוואה. לפשט. הפוך את המקדם של המונח המשתנה לשווה ל 11 על ידי חלוקת שני הצדדים ב 55. לפשט. בדוק: תן a=0.
לפתור: \(2(m - 4) + 3 = -1\)
- תשובה
-
\(m = 2\)
לפתור: \(7(n - 3) - 8 = -15\)
- תשובה
-
\(n = 2\)
לפתור: \(\frac{2}{3}(6m - 3) = 8 - m\)
- תשובה
-
להפיץ. הוסף m כדי לקבל את המשתנים רק משמאל. לפשט. הוסף 2 כדי לקבל קבועים רק בצד ימין. לפשט. מחלקים על ידי 5. לפשט. בדוק: תן ל- m = 2.
לפתור: \(\frac{1}{3}(6u + 3) = 7 - u\)
- תשובה
-
\(u = 2\)
לפתור: \(\frac{2}{3}(9x - 12) = 8 + 2x\)
- תשובה
-
\(x = 4\)
לפתור: \(8 - 2(3y + 5) = 0\)
- תשובה
-
בפשטות - השתמש במאפיין החלוקה. לשלב מונחים כמו. הוסף 2 לשני הצדדים כדי לאסוף קבועים בצד ימין. לפשט. מחלקים את שני הצדדים ב -6-6. לפשט. בדוק: תן y = −13.
לפתור: \(12 - 3(4j + 3) = -17\)
- תשובה
-
\(j = \frac{5}{3}\)
לפתור: \(-6 - 8(k - 2) = -10\)
- תשובה
-
\(k = \frac{5}{2}\)
לפתור: \(4(x - 1)-2=5(2x+3)+6\)
- תשובה
-
להפיץ. לשלב מונחים כמו. הפחת 4x כדי לקבל את המשתנים רק בצד ימין מאז\(10>4\). לפשט. הפחת 21 כדי לקבל את הקבועים בצד שמאל. לפשט. מחלקים על ידי 6. לפשט. בדוק: תן\(x=-\frac{9}{2}\).
לפתור: \(6(p-3)-7=5(4p+3)-12\)
- תשובה
-
\(p = -2\)
לפתור: \(8(q +1)-5=3(2q-4)-1\)
- תשובה
-
\(q = -8\)
לפתור: \(10[3 - 8(2s-5)] = 15(40 - 5s)\)
- תשובה
-
פשט תחילה מהסוגריים הפנימיים ביותר. שלב מונחים כמו בסוגריים. להפיץ. הוסף 160 כדי לקבל את ה-s ימינה. לפשט. הפחת 600 כדי לקבל את הקבועים שמאלה. לפשט. לחלק. לפשט. בדוק: תחליף s=−2.
לפתור:\(6[4−2(7y−1)]=8(13−8y)\).
- תשובה
-
\(y = -\frac{17}{5}\)
לפתור:\(12[1−5(4z−1)]=3(24+11z)\).
- תשובה
-
\(z = 0\)
לפתור:\(0.36(100n+5)=0.6(30n+15)\).
- תשובה
-
להפיץ. הפחת 18n כדי לקבל את המשתנים שמאלה. לפשט. הפחת 1.8 כדי לקבל את הקבועים ימינה. לפשט. לחלק. לפשט. בדוק: תן n = 0.4.
לפתור:\(0.55(100n+8)=0.6(85n+14)\).
- תשובה
-
\(n = 1\)
לפתור:\(0.15(40m−120)=0.5(60m+12)\).
- תשובה
-
\(m = -1\)
סיווג משוואות
שקול את המשוואה שפתרנו בתחילת הסעיף האחרון, 7x+8 = −13. הפתרון שמצאנו היה איקס=−3. המשמעות היא שהמשוואה 7x+8 = −13 נכונה כאשר אנו מחליפים את המשתנה, x, בערך -3. הראינו זאת כאשר בדקנו את הפתרון איקס=−3 והערכנו 7x+8=−13 עבור איקס=−3.
אם נעריך 7x+8 לערך אחר של x, הצד השמאלי לא יהיה -13.
המשוואה 7x+8=−13 נכונה כאשר אנו מחליפים את המשתנה, איקס, בערך -3, אך לא נכון כאשר אנו מחליפים איקס בכל ערך אחר. האם המשוואה 7x+8=−13 נכונה או לא תלויה בערך המשתנה. משוואות כאלה נקראות משוואות מותנות.
כל המשוואות שפתרנו עד כה הן משוואות מותנות.
משוואה שנכונה לערך אחד או יותר של המשתנה ושקרית עבור כל שאר הערכים של המשתנה היא משוואה מותנית.
עכשיו בואו ניקח בחשבון את המשוואה 2y+6 = 2 (y+3). האם אתה מזהה שהצד השמאלי והצד הימני שווים? בואו נראה מה קורה כשאנחנו פותרים עבור y.
![]() |
|
להפיץ. | ![]() |
הפחת 2y כדי לקבל את ה- y לצד אחד. | ![]() |
פשוט - ה- y נעלמו! | ![]() |
אבל 6=6 זה נכון.
המשמעות היא שהמשוואה 2y+6 = 2 (y+3) נכונה לכל ערך של y. אנו אומרים שהפתרון למשוואה הוא כל המספרים האמיתיים. משוואה שנכונה לכל ערך של המשתנה כזה נקראת זהות.
משוואה שנכונה לכל ערך של המשתנה נקראת זהות.
הפתרון של זהות הוא כל המספרים האמיתיים.
מה קורה כשאנחנו פותרים את המשוואה 5z = 5z−1?
![]() |
|
הפחת 5z כדי לקבל את הקבוע לבד בצד ימין. | ![]() |
פשוט - ה- z נעלמו! | ![]() |
אבל\(0\neq −1\).
פתרון המשוואה 5z = 5z−1 הוביל להצהרה הכוזבת 0=−1. המשוואה 5z = 5z−1 לא תהיה נכונה לגבי שום ערך של z אין לה פתרון. משוואה שאין לה פיתרון, או שהיא שקרית לכל ערכי המשתנה, נקראת סתירה.
משוואה שקרית לכל ערכי המשתנה נקראת סתירה.
לסתירה אין פיתרון.
סווג את המשוואה כמשוואה מותנית, זהות או סתירה. לאחר מכן ציין את הפתרון.
\(6(2n−1)+3=2n−8+5(2n+1)\)
תשובה-
להפיץ. לשלב מונחים כמו. הפחת 12n כדי לקבל את nn לצד אחד. לפשט. זו אמירה אמיתית. המשוואה היא זהות.
הפתרון הוא כל המספרים האמיתיים.
סווג את המשוואה כמשוואה מותנית, זהות או סתירה ואז ציין את הפיתרון:
\(4+9(3x−7)=−42x−13+23(3x−2)\)
תשובה-
זהות; כל המספרים האמיתיים
סווג את המשוואה כמשוואה מותנית, זהות או סתירה ואז ציין את הפיתרון:
\(8(1−3x)+15(2x+7)=2(x+50)+4(x+3)+1\)
תשובה-
זהות; כל המספרים האמיתיים
סווג כמשוואה מותנית, זהות או סתירה. לאחר מכן ציין את הפתרון.
\(10+4(p−5)=0\)
תשובה-
להפיץ. לשלב מונחים כמו. הוסף 10 לשני הצדדים. לפשט. לחלק. לפשט. המשוואה נכונה מתי\(p = frac{5}{2}\). זוהי משוואה מותנית.
הפתרון הוא\(p = frac{5}{2}\).
סווג את המשוואה כמשוואה מותנית, זהות או סתירה ואז ציין את הפיתרון: \(11(q+3)−5=19\)
- תשובה
-
משוואה מותנית;\ (q =\ frac {9} {11}\
סווג את המשוואה כמשוואה מותנית, זהות או סתירה ואז ציין את הפיתרון: \(6+14(k−8)=95\)
- תשובה
-
משוואה מותנית; \(k = \frac{193}{14}\)
סווג את המשוואה כמשוואה מותנית, זהות או סתירה. לאחר מכן ציין את הפתרון.
\(5m+3(9+3m)=2(7m−11)\)
תשובה-
להפיץ. לשלב מונחים כמו. הפחת 14 מ 'משני הצדדים. לפשט. אבל\(27\neq −22\). המשוואה היא סתירה.
אין לזה פתרון.
סווג את המשוואה כמשוואה מותנית, זהות או סתירה ואז ציין את הפיתרון:
\(12c+5(5+3c)=3(9c−4)\)
תשובה-
סתירה; אין פתרון
סווג את המשוואה כמשוואה מותנית, זהות או סתירה ואז ציין את הפיתרון:
\(4(7d+18)=13(3d−2)−11d\)
תשובה-
סתירה; אין פתרון
סוג המשוואה | מה קורה כשאתה פותר את זה? | פתרון |
---|---|---|
משוואה מותנית | נכון לערך אחד או יותר של המשתנים ושקר עבור כל הערכים האחרים | ערך אחד או יותר |
זהות | נכון לכל ערך של המשתנה | כל המספרים האמיתיים |
סתירה | False עבור כל הערכים של המשתנה | אין פתרון |
מושגי מפתח
- אסטרטגיה כללית לפתרון משוואות לינאריות
- פשט כל צד של המשוואה ככל האפשר.
השתמש במאפיין החלוקה כדי להסיר סוגריים כלשהם.
לשלב מונחים כמו. - אסוף את כל המונחים המשתנים בצד אחד של המשוואה.
השתמש במאפיין ההוספה או החיסור של שוויון. - אסוף את כל המונחים הקבועים בצד השני של המשוואה.
השתמש במאפיין ההוספה או החיסור של שוויון. - הפוך את המקדם של המונח המשתנה לשווה ל -1.
השתמש במאפיין הכפל או החלוקה של שוויון.
ציין את הפתרון למשוואה. - בדוק את הפתרון.
החלף את הפתרון למשוואה המקורית.
- פשט כל צד של המשוואה ככל האפשר.