Skip to main content
Global

2.3: לפתור משוואות עם משתנים וקבועים משני הצדדים

  • Page ID
    205587
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    מטרות למידה

    בסוף פרק זה, תוכל:

    • לפתור משוואה עם קבועים משני הצדדים
    • לפתור משוואה עם משתנים משני הצדדים
    • לפתור משוואה עם משתנים וקבועים משני הצדדים
    הערה

    לפני שתתחיל, קח את חידון המוכנות הזה.

    1. פשט: 4y−9+9.
      אם פספסת בעיה זו, סקור את תרגיל 1.10.20.

    לפתור משוואות עם קבועים משני הצדדים

    בכל המשוואות שפתרנו עד כה, כל מונחי המשתנים היו רק בצד אחד של המשוואה עם הקבועים בצד השני. זה לא קורה כל הזמן - אז עכשיו נלמד לפתור משוואות שבהן המונחים המשתנים, או המונחים הקבועים, או שניהם נמצאים משני צידי המשוואה.

    האסטרטגיה שלנו תכלול בחירת צד אחד של המשוואה להיות "הצד המשתנה", והצד השני של המשוואה יהיה "הצד הקבוע". לאחר מכן, נשתמש במאפייני החיסור וההוספה של שוויון כדי לחבר את כל מונחי המשתנים בצד אחד של המשוואה ואת המונחים הקבועים יחד בצד השני.

    על ידי כך, נהפוך את המשוואה שהחלה במשתנים וקבועים משני הצדדים לצורה\(ax=b\). אנו כבר יודעים כיצד לפתור משוואות של צורה זו באמצעות מאפייני החלוקה או הכפל של השוויון.

    תרגיל \(\PageIndex{1}\)

    לפתור:\(7x+8=−13\).

    תשובה

    במשוואה זו המשתנה נמצא רק בצד שמאל. הגיוני לקרוא לצד שמאל את הצד "המשתנה". לכן, הצד הימני יהיה הצד "הקבוע". נכתוב את התוויות מעל המשוואה כדי לעזור לנו לזכור מה הולך לאן.

    איור זה מציג את המשוואה 7x פלוס 8 שווה שלילי 13, כאשר הצד השמאלי של המשוואה מסומן "משתנה", כתוב באדום, והצד הימני של המשוואה שכותרתו "קבוע", כתוב באדום.

    מכיוון שהצד השמאלי הוא "xx", או הצד המשתנה, ה- 8 לא במקום. עלינו "לבטל" הוספת 8 על ידי חיסור 8, וכדי לשמור על השוויון עלינו לחסר 8 משני הצדדים.

      איור זה מציג את המשוואה 7x פלוס 8 שווה שלילי 13, כאשר הצד השמאלי של המשוואה מסומן "משתנה", כתוב באדום, והצד הימני של המשוואה שכותרתו "קבוע", כתוב באדום.
    השתמש במאפיין החיסור של שוויון. .
    לפשט. .
    כעת כל המשתנים נמצאים בצד שמאל והקבוע מימין. המשוואה נראית כמו אלה שלמדת לפתור קודם.
    השתמש ברכוש החלוקה לשוויון. .
    לפשט. .
    בדוק: .  
    תן איקס=−3. .  
      .  
    תרגיל \(\PageIndex{2}\)

    לפתור:\(3x+4=−8\).

    תשובה

    \(x=−4\)

    תרגיל \(\PageIndex{3}\)

    לפתור:\(5a+3=−37\).

    תשובה

    \(a=−8\)

    תרגיל \(\PageIndex{4}\)

    לפתור:\(8y−9=31\).

    תשובה

    שימו לב, המשתנה נמצא רק בצד שמאל של המשוואה, לכן נקרא לצד זה הצד "המשתנה", והצד הימני יהיה הצד "הקבוע". מכיוון שהצד השמאלי הוא הצד "המשתנה", ה- 9 לא במקום. זה מופחת מן 8y, אז כדי "לבטל" חיסור, להוסיף 9 לשני הצדדים. זכור, כל מה שאתה עושה בצד שמאל, אתה חייב לעשות בצד ימין.

      .
    הוסף 9 לשני הצדדים. .
    לפשט. .
      המשתנים נמצאים כעת בצד אחד והקבועים בצד השני.
    אנחנו ממשיכים מכאן כפי שעשינו קודם.
    מחלקים את שני הצדדים על ידי 8. .
    לפשט. .
    בדוק: .  
    תן y = 5. .  
      .  
      .  
    תרגיל \(\PageIndex{5}\)

    לפתור:\(5y−9=16\).

    תשובה

    \(y=5\)

    תרגיל \(\PageIndex{6}\)

    לפתור:\(3m−8=19\).

    תשובה

    \(m = 9\)

    לפתור משוואות עם משתנים וקבועים משני הצדדים

    הדוגמה הבאה תהיה הראשונה שיש לה משתנים וקבועים משני צידי המשוואה. זה עשוי לקחת כמה צעדים כדי לפתור את המשוואה הזו, אז אנחנו צריכים אסטרטגיה ברורה ומאורגנת.

    תרגיל \(\PageIndex{7}\)

    לפתור:\(9x=8x−6\).

    תשובה

    כאן המשתנה נמצא משני הצדדים, אך הקבועים מופיעים רק בצד ימין, אז בואו נהפוך את הצד הימני לצד "הקבוע". ואז הצד השמאלי יהיה הצד "המשתנה".

      .
    אנחנו לא רוצים שום x בצד ימין, אז גרעו את ה- 8x משני הצדדים. .
    לפשט. .
    הצלחנו להשיג את המשתנים מצד אחד ואת הקבועים מצד שני, והשגנו את הפתרון.
    בדוק: .  
    תן איקס=−6. .  
      .  
      .  
    תרגיל \(\PageIndex{8}\)

    לפתור:\(6n=5n−10\).

    תשובה

    \(n = -10\)

    תרגיל \(\PageIndex{9}\)

    לפתור: \(-6c = -7c - 1\)

    תשובה

    \(c = -1\)

    תרגיל \(\PageIndex{10}\)

    לפתור: \(5y - 9 = 8y\)

    תשובה

    הקבוע היחיד נמצא בצד שמאל וה- y משני הצדדים. בואו נשאיר את הקבוע בצד שמאל ונביא את המשתנים ימינה.

      .
    הפחת 5y משני הצדדים. .
    לפשט. .
    יש לנו את ה- y מימין ואת
    הקבועים משמאל. מחלקים את שני הצדדים ב -3.
    .
    לפשט. .
    בדוק: .  
    תן\(y=−3\). .  
      .  
      .  
    תרגיל \(\PageIndex{11}\)

    לפתור:\(3p−14=5p\).

    תשובה

    \(p = -7\)

    תרגיל \(\PageIndex{12}\)

    לפתור: \(8m + 9 = 5m\)

    תשובה

    \(m = -3\)

    תרגיל \(\PageIndex{13}\)

    לפתור: \(12x = -x + 26\)

    תשובה

    הקבוע היחיד הוא בצד ימין, אז תן לצד שמאל להיות הצד "המשתנה".

      .
    הסר את ה- −x מהצד הימני על ידי הוספת x לשני הצדדים. .
    לפשט. .
    כל ה- x נמצאים בצד שמאל והקבועים מימין. מחלקים את שני הצדדים ב -13. .
    לפשט. .
    תרגיל \(\PageIndex{14}\)

    לפתור: \(12j = -4j + 32\)

    תשובה

    \(j = 2\)

    תרגיל \(\PageIndex{15}\)

    לפתור: \(8h = -4h + 12\)

    תשובה

    \(h = 1\)

    לפתור משוואות עם משתנים וקבועים משני הצדדים

    הדוגמה הבאה תהיה הראשונה שיש לה משתנים וקבועים משני צידי המשוואה. זה עשוי לקחת כמה צעדים כדי לפתור את המשוואה הזו, אז אנחנו צריכים אסטרטגיה ברורה ומאורגנת.

    תרגיל \(\PageIndex{16}\): How to Solve Equations with Variables and Constants on Both Sides

    לפתור: \(7x + 5 = 6x + 2\)

    תשובה

    נתון זה הוא טבלה הכוללת שלוש עמודות וארבע שורות. העמודה הראשונה היא עמודת כותרת, והיא מכילה את השמות והמספרים של כל שלב. העמודה השנייה מכילה הוראות כתובות נוספות. העמודה השלישית מכילה מתמטיקה. בשורה העליונה של הטבלה, התא הראשון משמאל קורא: "שלב 1. בחר באיזה צד יהיה הצד "המשתנה" - הצד השני יהיה הצד ה"קבוע". הטקסט בתא השני קורא: "המונחים המשתנים הם 7 x ו- 6 x, מכיוון ש- 7 גדול מ- 6, אנו נהפוך את הצד השמאלי לצד "x" וכך הצד הימני יהיה הצד "הקבוע". התא השלישי מכיל את המשוואה 7 x פלוס 5 שווה 6 x פלוס 2, והצד השמאלי של המשוואה מסומן "משתנה" כתוב באדום, והצד הימני של המשוואה מסומן "קבוע" כתוב באדום.שלב 2. הביאו את כל מונחי ה- x לצד שמאל על ידי חיסור ה- 6x משני הצדדים.בשורה השלישית של הטבלה, התא הראשון אומר: "שלב 3. אסוף את כל הקבועים לצד השני של המשוואה, תוך שימוש במאפיין החיבור או החיסור של השוויון." בתא השני ההוראות אומרות: "הצד הימני הוא הצד ה"קבוע", כך שה -5 לא במקום. הפחת 5 משני הצדדים. לפשט." התא השלישי מכיל את המשוואה x פלוס 5 מינוס 5 שווה 2 מינוס 5, כאשר "מינוס 5" כתוב באדום משני הצדדים. להלן התשובה למשוואה: x שווה לשלילי 3.שלב 4. מכיוון ש- x הוא בפני עצמו, מצאנו את הפיתרון למשוואה.בשורה החמישית של הטבלה, התא הראשון אומר: "שלב 5. בדוק." ההוראות בתא השני אומרות: "בדוק. תן ל- x להיות שווה שלילי 3. לפשט. הוסף." בתא השלישי נמצאת המשוואה המקורית שוב: 7 x פלוס 5 שווה 6x פלוס 2. להלן אותה משוואה עם 3 שלילי שהוחלף ב- x: 7 פעמים שלילי 3 (בפרטות) פלוס 5 עשוי להיות שווה פי 6 שלילי 3 (בסוגריים) פלוס 2, כאשר "פעמים שלילי 3" כתוב באדום משני צידי המשוואה. להלן המשוואה שלילית 21 פלוס 5 עשויה להיות שווה לשלילה 18 פלוס 2. בשורה האחרונה נמצאת המשוואה שלילית 16 שווה לשלילה 16, עם סימן ביקורת לצידה.

    תרגיל \(\PageIndex{17}\)

    לפתור:\(12x+8=6x+2\).

    תשובה

    \(x=−1\)

    תרגיל \(\PageIndex{18}\)

    לפתור:\(9y+4=7y+12\).

    תשובה

    \(y=4\)

    נפרט את השלבים שלהלן כדי שתוכל להתייחס אליהם בקלות. אבל נקרא לזה 'אסטרטגיית התחלה' מכיוון שנוסיף כמה צעדים בהמשך פרק זה.

    אסטרטגיה מתחילה לפתרון משוואות עם משתנים וקבועים משני צידי המשוואה.
    1. בחר איזה צד יהיה הצד "המשתנה" - הצד השני יהיה הצד ה"קבוע".
    2. אסוף את המונחים המשתנים לצד "המשתנה" של המשוואה, תוך שימוש במאפיין ההוספה או החיסור של השוויון.
    3. אסוף את כל הקבועים לצד השני של המשוואה, באמצעות תכונת ההוספה או החיסור של השוויון.
    4. הפוך את מקדם המשתנה לשווה 1, תוך שימוש במאפיין הכפל או החלוקה של שוויון.
    5. בדוק את הפתרון על ידי החלפתו במשוואה המקורית.

    בשלב 1, גישה מועילה היא להפוך את הצד "המשתנה" לצד שיש לו את המשתנה עם המקדם הגדול יותר. זה בדרך כלל מקל על החשבון.

    תרגיל \(\PageIndex{19}\)

    לפתור:\(8n−4=−2n+6\).

    תשובה

    בשלב הראשון, בחר את הצד המשתנה על ידי השוואת מקדמי המשתנים מכל צד.

    מאז\(8>−2\), הפוך את הצד השמאלי לצד "המשתנה". .
    אנחנו לא רוצים מונחים משתנים בצד ימין - הוסף 2n לשני הצדדים כדי להשאיר רק קבועים בצד ימין. .
    לשלב מונחים כמו. .
    אנחנו לא רוצים קבועים בצד שמאל, אז הוסף 4 לשני הצדדים. .
    לפשט. .
    המונח המשתנה נמצא משמאל והמונח הקבוע נמצא מימין. כדי לקבל את מקדם nn להיות אחד, לחלק את שני הצדדים על ידי 10. .
    לפשט. .
    בדוק: .  
    תן n = 1. .  
      .  
      .  
    תרגיל \(\PageIndex{20}\)

    לפתור: \(8q - 5 = -4q + 7\)

    תשובה

    \(q = 1\)

    תרגיל \(\PageIndex{21}\)

    לפתור: \(7n - 3 = n + 3\)

    תשובה

    \(n = 1\)

    תרגיל \(\PageIndex{22}\)

    לפתור: \(7a -3 = 13a + 7\)

    תשובה

    בשלב הראשון, בחר את הצד המשתנה על ידי השוואת מקדמי המשתנים מכל צד.

    מאז 13> 7, הפוך את הצד הימני לצד "המשתנה" ואת הצד השמאלי לצד "קבוע".

      .
    הפחת 7a משני הצדדים כדי להסיר את המונח המשתנה משמאל. .
    לשלב מונחים כמו. .
    הפחת 7 משני הצדדים כדי להסיר את הקבוע מימין. .
    לפשט. .
    מחלקים את שני הצדדים ב -6 כדי להפוך את 1 למקדם של a. .
    לפשט. .
    בדוק: .  
    תן\(a=−\frac{5}{3}\). .  
      .  
      .  
    תרגיל \(\PageIndex{23}\)

    לפתור: \(2a - 2 = 6a + 18\)

    תשובה

    \(a = -5\)

    תרגיל \(\PageIndex{24}\)

    לפתור: \(4k -1 = 7k + 17\)

    תשובה

    \(k = -6\)

    בדוגמה האחרונה יכולנו להפוך את הצד השמאלי לצד "המשתנה", אך זה היה מוביל למקדם שלילי במונח המשתנה. (נסה את זה!) אמנם נוכל לעבוד עם השלילי, אך יש פחות סיכוי לטעויות בעבודה עם חיובי. האסטרטגיה שתוארה לעיל עוזרת להימנע מהשליליות!

    כדי לפתור משוואה עם שברים, אנו פשוט עוקבים אחר שלבי האסטרטגיה שלנו כדי לקבל את הפיתרון!

    תרגיל \(\PageIndex{25}\)

    לפתור: \(\frac{4}{5}x + 6 = \frac{1}{4}x - 2\)

    תשובה

    מאז\(\frac{5}{4} > \frac{1}{4}\), הפוך את הצד השמאלי לצד "המשתנה" ואת הצד הימני לצד "הקבוע".

      .
    הפחת \(\frac{1}{4}x\) משני הצדדים. .
    לשלב מונחים כמו. .
    הפחת 6 משני הצדדים. .
    לפשט. .

    בדוק: תן \(x = -8\)

    \(\begin{array} {ccc} {\frac{5}{4}x + 6} &{=} &{\frac{1}{4}x - 2} \\ {\frac{5}{4}(-8) + 6} &{\stackrel{?}{=}} &{\frac{1}{4}(-8) - 2} \\ {-10 + 6} &{\stackrel{?}{=}} &{-2 - 2} \\ {-4} &{=} &{-4\checkmark} \end{array}\)
    תרגיל \(\PageIndex{26}\)

    לפתור: \(\frac{7}{8}x - 12 = -\frac{1}{8}x - 2\)

    תשובה

    \(x = 10\)

    תרגיל \(\PageIndex{27}\)

    לפתור: \(\frac{7}{6}x + 11 = \frac{1}{6}y + 8\)

    תשובה

    \(y = -3\)

    נשתמש באותה אסטרטגיה כדי למצוא את הפיתרון למשוואה עם עשרונים.

    תרגיל \(\PageIndex{28}\)

    לפתור:\(7.8x+4=5.4x−8\).

    תשובה

    מאז\(7.8>5.4\), הפוך את הצד השמאלי לצד "המשתנה" ואת הצד הימני לצד "הקבוע".

      .
    הפחת 5.4x משני הצדדים. .
    לשלב מונחים כמו. .
    הפחת 4 משני הצדדים. .
    לפשט. .
    השתמש ברכוש החלוקה לשוויון. .
    לפשט. .
    בדוק: .  
    תן \(x=−5\) .  
      .  
     

    .

     
    תרגיל \(\PageIndex{29}\)

    לפתור: \(2.8x + 12 = -1.4x - 9\)

    תשובה

    \(x = -5\)

    תרגיל \(\PageIndex{30}\)

    לפתור: \(3.6y + 8 = 1.2y - 4\)

    תשובה

    \(y = -5\)

    מושגי מפתח

    • אסטרטגיה מתחילה לפתרון משוואה עם משתנים וקבועים משני צידי המשוואה
      1. בחר איזה צד יהיה הצד "המשתנה" - הצד השני יהיה הצד ה"קבוע".
      2. אסוף את המונחים המשתנים לצד "המשתנה" של המשוואה, תוך שימוש במאפיין ההוספה או החיסור של השוויון.
      3. אסוף את כל הקבועים לצד השני של המשוואה, באמצעות תכונת ההוספה או החיסור של השוויון.
      4. הפוך את מקדם המשתנה לשווה 1, תוך שימוש במאפיין הכפל או החלוקה של שוויון.
      5. בדוק את הפתרון על ידי החלפתו במשוואה המקורית.