2.3: לפתור משוואות עם משתנים וקבועים משני הצדדים
- Page ID
- 205587
בסוף פרק זה, תוכל:
- לפתור משוואה עם קבועים משני הצדדים
- לפתור משוואה עם משתנים משני הצדדים
- לפתור משוואה עם משתנים וקבועים משני הצדדים
לפתור משוואות עם קבועים משני הצדדים
בכל המשוואות שפתרנו עד כה, כל מונחי המשתנים היו רק בצד אחד של המשוואה עם הקבועים בצד השני. זה לא קורה כל הזמן - אז עכשיו נלמד לפתור משוואות שבהן המונחים המשתנים, או המונחים הקבועים, או שניהם נמצאים משני צידי המשוואה.
האסטרטגיה שלנו תכלול בחירת צד אחד של המשוואה להיות "הצד המשתנה", והצד השני של המשוואה יהיה "הצד הקבוע". לאחר מכן, נשתמש במאפייני החיסור וההוספה של שוויון כדי לחבר את כל מונחי המשתנים בצד אחד של המשוואה ואת המונחים הקבועים יחד בצד השני.
על ידי כך, נהפוך את המשוואה שהחלה במשתנים וקבועים משני הצדדים לצורה\(ax=b\). אנו כבר יודעים כיצד לפתור משוואות של צורה זו באמצעות מאפייני החלוקה או הכפל של השוויון.
לפתור:\(7x+8=−13\).
- תשובה
-
במשוואה זו המשתנה נמצא רק בצד שמאל. הגיוני לקרוא לצד שמאל את הצד "המשתנה". לכן, הצד הימני יהיה הצד "הקבוע". נכתוב את התוויות מעל המשוואה כדי לעזור לנו לזכור מה הולך לאן.
מכיוון שהצד השמאלי הוא "xx", או הצד המשתנה, ה- 8 לא במקום. עלינו "לבטל" הוספת 8 על ידי חיסור 8, וכדי לשמור על השוויון עלינו לחסר 8 משני הצדדים.
השתמש במאפיין החיסור של שוויון. לפשט. כעת כל המשתנים נמצאים בצד שמאל והקבוע מימין. המשוואה נראית כמו אלה שלמדת לפתור קודם. השתמש ברכוש החלוקה לשוויון. לפשט. בדוק: תן איקס=−3.
לפתור:\(3x+4=−8\).
- תשובה
-
\(x=−4\)
לפתור:\(5a+3=−37\).
- תשובה
-
\(a=−8\)
לפתור:\(8y−9=31\).
- תשובה
-
שימו לב, המשתנה נמצא רק בצד שמאל של המשוואה, לכן נקרא לצד זה הצד "המשתנה", והצד הימני יהיה הצד "הקבוע". מכיוון שהצד השמאלי הוא הצד "המשתנה", ה- 9 לא במקום. זה מופחת מן 8y, אז כדי "לבטל" חיסור, להוסיף 9 לשני הצדדים. זכור, כל מה שאתה עושה בצד שמאל, אתה חייב לעשות בצד ימין.
הוסף 9 לשני הצדדים. לפשט. המשתנים נמצאים כעת בצד אחד והקבועים בצד השני.
אנחנו ממשיכים מכאן כפי שעשינו קודם.מחלקים את שני הצדדים על ידי 8. לפשט. בדוק: תן y = 5.
לפתור:\(5y−9=16\).
- תשובה
-
\(y=5\)
לפתור:\(3m−8=19\).
- תשובה
-
\(m = 9\)
לפתור משוואות עם משתנים וקבועים משני הצדדים
הדוגמה הבאה תהיה הראשונה שיש לה משתנים וקבועים משני צידי המשוואה. זה עשוי לקחת כמה צעדים כדי לפתור את המשוואה הזו, אז אנחנו צריכים אסטרטגיה ברורה ומאורגנת.
לפתור:\(9x=8x−6\).
- תשובה
-
כאן המשתנה נמצא משני הצדדים, אך הקבועים מופיעים רק בצד ימין, אז בואו נהפוך את הצד הימני לצד "הקבוע". ואז הצד השמאלי יהיה הצד "המשתנה".
אנחנו לא רוצים שום x בצד ימין, אז גרעו את ה- 8x משני הצדדים. לפשט. הצלחנו להשיג את המשתנים מצד אחד ואת הקבועים מצד שני, והשגנו את הפתרון. בדוק: תן איקס=−6.
לפתור:\(6n=5n−10\).
- תשובה
-
\(n = -10\)
לפתור: \(-6c = -7c - 1\)
- תשובה
-
\(c = -1\)
לפתור: \(5y - 9 = 8y\)
- תשובה
-
הקבוע היחיד נמצא בצד שמאל וה- y משני הצדדים. בואו נשאיר את הקבוע בצד שמאל ונביא את המשתנים ימינה.
הפחת 5y משני הצדדים. לפשט. יש לנו את ה- y מימין ואת
הקבועים משמאל. מחלקים את שני הצדדים ב -3.לפשט. בדוק: תן\(y=−3\).
לפתור:\(3p−14=5p\).
- תשובה
-
\(p = -7\)
לפתור: \(8m + 9 = 5m\)
- תשובה
-
\(m = -3\)
לפתור: \(12x = -x + 26\)
- תשובה
-
הקבוע היחיד הוא בצד ימין, אז תן לצד שמאל להיות הצד "המשתנה".
הסר את ה- −x מהצד הימני על ידי הוספת x לשני הצדדים. לפשט. כל ה- x נמצאים בצד שמאל והקבועים מימין. מחלקים את שני הצדדים ב -13. לפשט.
לפתור: \(12j = -4j + 32\)
- תשובה
-
\(j = 2\)
לפתור: \(8h = -4h + 12\)
- תשובה
-
\(h = 1\)
לפתור משוואות עם משתנים וקבועים משני הצדדים
הדוגמה הבאה תהיה הראשונה שיש לה משתנים וקבועים משני צידי המשוואה. זה עשוי לקחת כמה צעדים כדי לפתור את המשוואה הזו, אז אנחנו צריכים אסטרטגיה ברורה ומאורגנת.
לפתור: \(7x + 5 = 6x + 2\)
- תשובה
-
לפתור:\(12x+8=6x+2\).
- תשובה
-
\(x=−1\)
לפתור:\(9y+4=7y+12\).
- תשובה
-
\(y=4\)
נפרט את השלבים שלהלן כדי שתוכל להתייחס אליהם בקלות. אבל נקרא לזה 'אסטרטגיית התחלה' מכיוון שנוסיף כמה צעדים בהמשך פרק זה.
- בחר איזה צד יהיה הצד "המשתנה" - הצד השני יהיה הצד ה"קבוע".
- אסוף את המונחים המשתנים לצד "המשתנה" של המשוואה, תוך שימוש במאפיין ההוספה או החיסור של השוויון.
- אסוף את כל הקבועים לצד השני של המשוואה, באמצעות תכונת ההוספה או החיסור של השוויון.
- הפוך את מקדם המשתנה לשווה 1, תוך שימוש במאפיין הכפל או החלוקה של שוויון.
- בדוק את הפתרון על ידי החלפתו במשוואה המקורית.
בשלב 1, גישה מועילה היא להפוך את הצד "המשתנה" לצד שיש לו את המשתנה עם המקדם הגדול יותר. זה בדרך כלל מקל על החשבון.
לפתור:\(8n−4=−2n+6\).
- תשובה
-
בשלב הראשון, בחר את הצד המשתנה על ידי השוואת מקדמי המשתנים מכל צד.
מאז\(8>−2\), הפוך את הצד השמאלי לצד "המשתנה". אנחנו לא רוצים מונחים משתנים בצד ימין - הוסף 2n לשני הצדדים כדי להשאיר רק קבועים בצד ימין. לשלב מונחים כמו. אנחנו לא רוצים קבועים בצד שמאל, אז הוסף 4 לשני הצדדים. לפשט. המונח המשתנה נמצא משמאל והמונח הקבוע נמצא מימין. כדי לקבל את מקדם nn להיות אחד, לחלק את שני הצדדים על ידי 10. לפשט. בדוק: תן n = 1.
לפתור: \(8q - 5 = -4q + 7\)
- תשובה
-
\(q = 1\)
לפתור: \(7n - 3 = n + 3\)
- תשובה
-
\(n = 1\)
לפתור: \(7a -3 = 13a + 7\)
- תשובה
-
בשלב הראשון, בחר את הצד המשתנה על ידי השוואת מקדמי המשתנים מכל צד.
מאז 13> 7, הפוך את הצד הימני לצד "המשתנה" ואת הצד השמאלי לצד "קבוע".
הפחת 7a משני הצדדים כדי להסיר את המונח המשתנה משמאל. לשלב מונחים כמו. הפחת 7 משני הצדדים כדי להסיר את הקבוע מימין. לפשט. מחלקים את שני הצדדים ב -6 כדי להפוך את 1 למקדם של a. לפשט. בדוק: תן\(a=−\frac{5}{3}\).
לפתור: \(2a - 2 = 6a + 18\)
- תשובה
-
\(a = -5\)
לפתור: \(4k -1 = 7k + 17\)
- תשובה
-
\(k = -6\)
בדוגמה האחרונה יכולנו להפוך את הצד השמאלי לצד "המשתנה", אך זה היה מוביל למקדם שלילי במונח המשתנה. (נסה את זה!) אמנם נוכל לעבוד עם השלילי, אך יש פחות סיכוי לטעויות בעבודה עם חיובי. האסטרטגיה שתוארה לעיל עוזרת להימנע מהשליליות!
כדי לפתור משוואה עם שברים, אנו פשוט עוקבים אחר שלבי האסטרטגיה שלנו כדי לקבל את הפיתרון!
לפתור: \(\frac{4}{5}x + 6 = \frac{1}{4}x - 2\)
- תשובה
-
מאז\(\frac{5}{4} > \frac{1}{4}\), הפוך את הצד השמאלי לצד "המשתנה" ואת הצד הימני לצד "הקבוע".
הפחת \(\frac{1}{4}x\) משני הצדדים. לשלב מונחים כמו. הפחת 6 משני הצדדים. לפשט. בדוק: תן \(x = -8\)
\(\begin{array} {ccc} {\frac{5}{4}x + 6} &{=} &{\frac{1}{4}x - 2} \\ {\frac{5}{4}(-8) + 6} &{\stackrel{?}{=}} &{\frac{1}{4}(-8) - 2} \\ {-10 + 6} &{\stackrel{?}{=}} &{-2 - 2} \\ {-4} &{=} &{-4\checkmark} \end{array}\)
לפתור: \(\frac{7}{8}x - 12 = -\frac{1}{8}x - 2\)
- תשובה
-
\(x = 10\)
לפתור: \(\frac{7}{6}x + 11 = \frac{1}{6}y + 8\)
- תשובה
-
\(y = -3\)
נשתמש באותה אסטרטגיה כדי למצוא את הפיתרון למשוואה עם עשרונים.
לפתור:\(7.8x+4=5.4x−8\).
- תשובה
-
מאז\(7.8>5.4\), הפוך את הצד השמאלי לצד "המשתנה" ואת הצד הימני לצד "הקבוע".
הפחת 5.4x משני הצדדים. לשלב מונחים כמו. הפחת 4 משני הצדדים. לפשט. השתמש ברכוש החלוקה לשוויון. לפשט. בדוק: תן \(x=−5\)
לפתור: \(2.8x + 12 = -1.4x - 9\)
- תשובה
-
\(x = -5\)
לפתור: \(3.6y + 8 = 1.2y - 4\)
- תשובה
-
\(y = -5\)
מושגי מפתח
- אסטרטגיה מתחילה לפתרון משוואה עם משתנים וקבועים משני צידי המשוואה
- בחר איזה צד יהיה הצד "המשתנה" - הצד השני יהיה הצד ה"קבוע".
- אסוף את המונחים המשתנים לצד "המשתנה" של המשוואה, תוך שימוש במאפיין ההוספה או החיסור של השוויון.
- אסוף את כל הקבועים לצד השני של המשוואה, באמצעות תכונת ההוספה או החיסור של השוויון.
- הפוך את מקדם המשתנה לשווה 1, תוך שימוש במאפיין הכפל או החלוקה של שוויון.
- בדוק את הפתרון על ידי החלפתו במשוואה המקורית.