Skip to main content
Global

2.2: לפתור משוואות באמצעות מאפייני החלוקה והכפל של שוויון

  • Page ID
    205598
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    מטרות למידה

    בסוף פרק זה, תוכל:

    • לפתור משוואות באמצעות מאפייני החלוקה והכפל של שוויון
    • לפתור משוואות הדורשות פישוט
    • תרגם למשוואה ופתור
    • תרגם ופתור יישומים
    הערה

    לפני שתתחיל, קח את חידון המוכנות הזה.

    1. פשט:\(−7(\frac{1}{-7})\).
      אם פספסת בעיה זו, עיין בתרגיל 1.6.13.
    2. להעריך \(9x+2\) מתי\(x=−3\).
      אם פספסת בעיה זו, סקור את תרגיל 1.5.34.

    לפתור משוואות באמצעות מאפייני החלוקה והכפל של שוויון

    אולי שמתם לב שכל המשוואות שפתרנו עד כה היו בצורה \(x+a=b\) או\(x−a=b\). הצלחנו לבודד את המשתנה על ידי הוספה או חיסור של המונח הקבוע בצד המשוואה עם המשתנה. כעת נראה כיצד לפתור משוואות שיש בהן משתנה כפול קבוע וכך ידרוש חלוקה לבידוד המשתנה.

    בואו נסתכל שוב על הפאזל שלנו עם המעטפות והדלפקים באיור\(\PageIndex{1}\).

    תמונה זו ממחישה סביבת עבודה המחולקת לשני צדדים. התוכן של הצד השמאלי שווה לתוכן של הצד הימני. בצד שמאל, ישנן שתי מעטפות שכל אחת מהן מכילה מספר לא ידוע אך שווה של מונים. בצד ימין שישה דלפקים.
    איור\(\PageIndex{1}\): האיור מציג מודל של משוואה עם משתנה אחד כפול קבוע. בצד שמאל של סביבת העבודה שני מופעים של הלא ידוע (מעטפה), ואילו בצד ימין של סביבת העבודה שישה מונים.

    באיור יש שתי מעטפות זהות המכילות מספר זהה של מונים. זכור, הצד השמאלי של סביבת העבודה חייב להיות שווה לצד ימין, אך הדלפקים בצד שמאל "מוסתרים" במעטפות. אז כמה דלפקים יש בכל מעטפה?

    כיצד אנו קובעים את המספר? עלינו להפריד את הדלפקים בצד ימין לשתי קבוצות באותו גודל כדי להתכתב עם שתי המעטפות בצד שמאל. 6 המונים המחולקים לשתי קבוצות שוות נותנים 3 מונים בכל קבוצה (מאז\(6\div 2=3\)).

    איזו משוואה מדגמנת את המצב המוצג באיור\(\PageIndex{2}\)? ישנן שתי מעטפות, וכל אחת מהן מכילה מונים xx. יחד, שתי המעטפות חייבות להכיל בסך הכל 6 דלפקים.

    תמונה זו ממחישה סביבת עבודה המחולקת לשני צדדים. התוכן של הצד השמאלי שווה לתוכן של הצד הימני. בצד שמאל, ישנן שתי מעטפות שכל אחת מהן מכילה מספר לא ידוע אך שווה של מונים. בצד ימין שישה דלפקים. מתחת לתמונה נמצאת המשוואה שעוצבה על ידי המונים: 2 x שווה ל 6.
    איור\(\PageIndex{2}\): האיור מציג מודל של המשוואה\(2x=6\).
      .
    אם נחלק את שני צידי המשוואה ב -2, כפי שעשינו עם המעטפות והדלפקים, .
    אנחנו מקבלים: .

    מצאנו שכל מעטפה מכילה 3 דלפקים. האם זה בודק? אנחנו יודעים\(2\cdot 3=6\), אז זה עובד! שלושה דלפקים בכל אחת משתי מעטפות שווה שש!

    דוגמה זו מובילה לחלוקת רכוש השוויון.

    חלוקת רכוש השוויון

    עבור כל המספרים a, b ו - c, ו\(c\neq 0\),

    \[\begin{array} {llll} {\text { If }} &{a} &{=} &{b} \\ {\text {then}} & {\frac { a } { c }} &{=} &{\frac { b } { c }} \end{array}\]

    כשאתה מחלק את שני צידי המשוואה במספר שאינו אפס, עדיין יש לך שוויון.

    הערה

    ביצוע פעילות המתמטיקה המניפולטיבית "חלוקת נכס לשוויון" תעזור לך לפתח הבנה טובה יותר כיצד לפתור משוואות באמצעות חלוקת נכס השוויון.

    המטרה בפתרון משוואה היא 'לבטל' את הפעולה על המשתנה. בדוגמה הבאה, המשתנה מוכפל ב -5, לכן נחלק את שני הצדדים ב -5 כדי 'לבטל' את הכפל.

    תרגיל \(\PageIndex{1}\)

    לפתור:\(5x=−27\).

    תשובה
    כדי לבודד את x, "בטל" את הכפל ב- 5. .
    חלק כדי 'לבטל' את הכפל. .
    לפשט. .
    בדוק: .  
    תחליף \(-\frac{27}{5}\) ל- x. .  
      .  
        מכיוון שזו אמירה אמיתית, \(x = -\frac{27}{5}\)
    הוא הפיתרון ל\(5x=−27\).
    תרגיל \(\PageIndex{2}\)

    לפתור:\(3y=−41\).

    תשובה

    \(y = -\frac{41}{3}\)

    תרגיל \(\PageIndex{3}\)

    לפתור:\(4z=−55\).

    תשובה

    \(y = -\frac{55}{4}\)

    שקול את המשוואה\(\frac{x}{4} = 3\). אנחנו רוצים לדעת איזה מספר מחולק 4 נותן 3. אז כדי "לבטל" את החלוקה, נצטרך להכפיל ב -4. תכונת הכפל של השוויון תאפשר לנו לעשות זאת. מאפיין זה אומר שאם נתחיל בשתי כמויות שוות ונכפיל את שניהם באותו מספר, התוצאות שוות.

    תכונת הכפל של השוויון

    עבור כל המספרים a, b ו - c,

    \[\begin{array} {llll} {\text {If}} &{a} & {=} &{b} \\ {\text {then}} &{a c} &{=} &{b c} \end{array}\]

    אם מכפילים את שני צידי המשוואה באותו מספר, עדיין יש לך שוויון.

    תרגיל \(\PageIndex{4}\)

    לפתור: \(\frac{y}{-7} = -14\)

    תשובה

    כאן y מחולק ב -7. עלינו להכפיל ב -7 כדי לבודד את y.

      .
    הכפל את שני הצדדים ב -7. .
    להכפיל. .
    לפשט. .
    בדוק: \(\frac{y}{-7} = -14\)    
    תחליף y = 98. .  
    לחלק. .
    תרגיל \(\PageIndex{5}\)

    לפתור: \(\frac{a}{-7} = -42\)

    תשובה

    \(a = 294\)

    תרגיל \(\PageIndex{6}\)

    לפתור: \(\frac{b}{-6} = -24\)

    תשובה

    \(b = 144\)

    תרגיל \(\PageIndex{7}\)

    לפתור: \(-n = 9\)

    תשובה
      .
    זכור −n שווה ערך ל -1 נ. .
    מחלקים את שני הצדדים ב -1. .
    לחלק. .
    שימו לב שישנן שתי דרכים נוספות לפתור −n=9. אנו יכולים גם לפתור משוואה זו על ידי הכפלת שני הצדדים ב -1 וגם על ידי לקיחת ההפך משני הצדדים.
    בדוק: .  
    תחליף n = −9. .  
    לפשט. .
    תרגיל \(\PageIndex{8}\)

    לפתור:\(−k=8\).

    תשובה

    \(k = -8\)

    תרגיל \(\PageIndex{9}\)

    לפתור:\(−g=3\).

    תשובה

    \(g = -3\)

    תרגיל \(\PageIndex{10}\)

    לפתור: \(\frac{3}{4}x = 12\)

    תשובה

    מכיוון שהתוצר של מספר והדדיות שלו הוא 1, האסטרטגיה שלנו תהיה לבודד את x על ידי הכפלת ההדדיות של\(\frac{3}{4}\).

      .
    הכפל על ידי ההדדיות של\(\frac{3}{4}\). .
    הדדיות מתרבות ל -1. .
    להכפיל. .
    שימו לב שיכולנו לחלק את שני צידי המשוואה \(\frac{3}{4}x = 12\) על ידי \(\frac{3}{4}\) בידוד x בעוד שזה יעבוד, רוב האנשים ימצאו הכפלה על ידי ההדדיות קלה יותר.
    בדוק: .  
    תחליף\(x=16\). .  
      .
    תרגיל \(\PageIndex{11}\)

    לפתור:\(\frac{2}{5}n=14\).

    תשובה

    \(n = 35\)

    תרגיל \(\PageIndex{12}\)

    לפתור:\(\frac{5}{6}y=15\).

    תשובה

    \(y = 18\)

    בדוגמה הבאה, כל מונחי המשתנים נמצאים בצד ימין של המשוואה. כמו תמיד, המטרה שלנו בפתרון המשוואה היא לבודד את המשתנה.

    תרגיל \(\PageIndex{13}\)

    לפתור: \(\frac{8}{15} = -\frac{4}{5}x\)

    תשובה
      .
    הכפל על ידי ההדדיות של\(-\frac{4}{5}\). .
    הדדיות מתרבות ל -1. .
    להכפיל. .
    בדוק: .  
    תן\(x = -\frac{2}{3}\). .  
      .
    תרגיל \(\PageIndex{14}\)

    לפתור: \(\frac{9}{25} = -\frac{4}{5}z\)

    תשובה

    \(z = - \frac{9}{5}\)

    תרגיל \(\PageIndex{15}\)

    \(\frac{5}{6} = -\frac{8}{3}r\)

    תשובה

    \(r = -\frac{5}{16}\)

    לפתור משוואות הדורשות פישוט

    משוואות רבות מתחילות מסובכות יותר מאלה שעבדנו איתן.

    עם המשוואות המסובכות יותר הללו הצעד הראשון הוא לפשט את שני צידי המשוואה ככל האפשר. זה בדרך כלל כרוך בשילוב מונחים דומים או שימוש בנכס החלוקתי.

    תרגיל \(\PageIndex{16}\)

    לפתור:\(14−23=12y−4y−5y\).

    תשובה

    התחל על ידי פישוט כל צד של המשוואה.

      .
    פשט כל צד. .
    מחלקים את שני הצדדים ב -3 כדי לבודד את y. .
    לחלק. .
    בדוק: .  
    תחליף\(y=−3\). .  
      .  
      .
    תרגיל \(\PageIndex{17}\)

    לפתור:\(18−27=15c−9c−3c\).

    תשובה

    \(c=−3\)

    תרגיל \(\PageIndex{18}\)

    לפתור:\(18−22=12x−x−4x\).

    תשובה

    \(x = -\frac{4}{7}\)

    תרגיל \(\PageIndex{19}\)

    לפתור:\(−4(a−3)−7=25\).

    תשובה

    כאן נפשט כל צד של המשוואה על ידי שימוש תחילה במאפיין החלוקה.

      .
    להפיץ. .
    לפשט. .
    לפשט. .
    חלק את שני הצדדים על ידי \(-4\) כדי לבודד א. .
    לחלק. .
    בדוק: .  
    תחליף \(a = -5\) .  
      .  
      .  
      .
    תרגיל \(\PageIndex{20}\)

    לפתור:\(−4(q−2)−8=24\).

    תשובה

    \(q=−6\)

    תרגיל \(\PageIndex{21}\)

    לפתור:\(−6(r−2)−12=30\).

    תשובה

    \(r=−5\)

    כעת כיסינו את כל ארבעת המאפיינים של שוויון - חיסור, חיבור, חלוקה וכפל. נפרט את כולם יחד כאן לעיון קל.

    תכונות של שוויון

    כשאתה מוסיף, מחסר, מכפיל או מחלק את אותה כמות משני צידי המשוואה, עדיין יש לך שוויון.

    \ [\ להתחיל {array} {ll} {\ textbf {תכונת חיסור של שוויון}} & {\ textbf {תוספת נכס של שוויון}}\\ {\ text {עבור כל המספרים האמיתיים a, b, ו- c,}\
    {\ text {if} a = b,} & {\ text {\ text {if} a = b,} & {\ text {\ text {if} b,}\\ {
    \ text {אז} a - c = b - c} & {\ textbf {אז} a + c = b + c}\\ {\ textbf {חלוקת נכס השוויון}}
    \\ {\ textbf {עבור כל המספרים האמיתיים a, b ו- c,}} & {\ text {עבור כל המספרים האמיתיים a, b, ו- c,}} & {
    \ text {עבור כל המספרים האמיתיים a, b, ו- c,}} & {\ text {עבור כל המספרים האמיתיים a, b, ו- c,}} & {\ text {עבור כל המספרים האמיתיים a, b, ו- c,}} &
    {\ text {עבור כל המספרים האמיתיים a, b, ו- c,}} & { b, ו- c,}
    \\ {\ טקסט {אם} a = b,} & {\ טקסט {אם} a = b,}
    \\ {\ טקסט {אז} a - c = b - c} & {\ טקסט {אז} + c = b + c}
    \ סוף {מערך}\]

    כשאתה מוסיף, מחסר, מכפיל או מחלק את אותה כמות משני צידי המשוואה, עדיין יש לך שוויון.

    תרגם למשוואה ופתור

    בדוגמאות הבאות נתרגם משפטים למשוואות ואז נפתור את המשוואות. ייתכן שתרצה לעיין בטבלת התרגום בפרק הקודם.

    תרגיל \(\PageIndex{22}\)

    תרגם ופתור: המספר 143 הוא תוצר של -11 ו- y.

    תשובה
    תרגם. .
    מחלקים ב -11. .
    לפשט. .
    בדוק:
    \[\begin{array} {lll} {143} &{=} &{-11y} \\ {143} &{\stackrel{?}{=}} &{-11(-13)} \\ {143} &{=} &{143\checkmark} \end{array}\]
    תרגיל \(\PageIndex{23}\)

    תרגם ופתור: המספר 132 הוא תוצר של -12 ו- y.

    תשובה

    132 = −12 שנים; y = −11

    תרגיל \(\PageIndex{24}\)

    תרגם ופתור: המספר 117 הוא תוצר של -13 ו- z.

    תשובה

    117=−13z; ז=−9

    תרגיל \(\PageIndex{25}\)

    תרגם ופתור: n מחולק ב- 8 הוא -32.

    תשובה
    התחל בתרגום המשפט למשוואה.
    תרגם.
    .
    מכפילים את שני הצדדים על ידי 8. .
    לפשט. .
    בדוק: האם nn מחולק ב- 8 שווה ל- −32?  
    תן\(n=−256\). האם -256 מחולק ב -88 שווה ל -32?  
    תרגם. \(\frac{-256}{8} \stackrel{?}{=} -32\)  
    לפשט. \(−32=−32\checkmark\)
    תרגיל \(\PageIndex{26}\)

    תרגם ופתור: nn מחולק ב- 7 שווה ל -21.

    תשובה

    \(\frac{n}{7}=−21; n=−147\)

    תרגיל \(\PageIndex{27}\)

    תרגם ופתור: n מחולק ב- 8 שווה ל -56.

    תשובה

    \(\frac{n}{8}=−56;n=−448\)

    תרגיל \(\PageIndex{28}\)

    תרגם ופתור: המנה של yy ו- -4 היא 68.

    תשובה

    התחל בתרגום המשפט למשוואה.

    תרגם. .
    הכפל את שני הצדדים ב -4. .
    לפשט. .
    בדוק: האם המנה של y ו- -4 שווה ל- 68?  
    תן y = −272. האם המנה של -272 ו -4 שווה ל -68?  
    תרגם. \(\frac{-272}{-4} \stackrel{?}{=} 68\)  
    לפשט. \(68 = 68\checkmark\)
    תרגיל \(\PageIndex{29}\)

    תרגם ופתור: המנה של q ו- -8 היא 72.

    תשובה

    \(\frac{q}{-8}=72;q=−576\)

    תרגיל \(\PageIndex{30}\)

    תרגם ופתור: המנה של p ו- -9 היא 81.

    תשובה

    \(\frac{p}{-9}=81;p=−729\)

    תרגיל \(\PageIndex{31}\)

    תרגם ופתור: שלושה רבעים מ- p הם 18.

    תשובה

    התחל בתרגום המשפט למשוואה. זכור, "של" מתורגם לכפל.

    תרגם. .
    הכפל את שני הצדדים על ידי\(\frac{4}{3}\). .
    לפשט. .
    בדוק: האם שלושה רבעים מ- p שווים ל- 18?  
    תן עמ = 24. האם שלושה רבעים מתוך 24 שווים ל 18?  
    תרגם. \(\frac{3}{4}\cdot 24 \stackrel{?}{=} 18\)  
    לפשט. \(18=18\checkmark\)
    תרגיל \(\PageIndex{32}\)

    תרגם ופתור: שתי חמישיות של f הוא 16.

    תשובה

    \(\frac{2}{5}f=16; f=40\)

    תרגיל \(\PageIndex{33}\)

    תרגם ופתור: שלושה רבעים של f הוא 21.

    תשובה

    \(\frac{3}{4}f=21; f=28\)

    תרגיל \(\PageIndex{34}\)

    תרגם ופתור: הסכום של שלוש שמיניות ו- x הוא חצי.

    תשובה

    התחל בתרגום המשפט למשוואה.

    תרגם. .
    הפחת \(\frac{3}{8}\) מכל צד. .
    פשט ושכתב שברים עם מכנים משותפים. .
    לפשט.   .
    בדוק: האם הסכום של שלוש שמיניות ו- x שווה לחצי?  
    תן\(x=\frac{1}{8}\). האם הסכום של שלוש שמיניות ושמינית שווה למחצית?  
    תרגם. \(\frac{3}{8} + \frac{1}{8} \stackrel{?}{=} \frac{1}{2}\)  
    לפשט. \(\frac{4}{8} \stackrel{?}{=} \frac{1}{2}\)  
    לפשט. \(\frac{1}{2} = \frac{1}{2} \checkmark\)
    תרגיל \(\PageIndex{35}\)

    תרגם ופתור: הסכום של חמש שמיניות ו - x הוא רבע.

    תשובה

    \(\frac{5}{8} + x = \frac{1}{4}; x = -\frac{3}{8}\)

    תרגיל \(\PageIndex{36}\)

    תרגם ופתור: הסכום של שלושה רבעים ו - x הוא חמש שישיות.

    תשובה

    \(\frac{3}{4} + x = \frac{5}{6}; x = \frac{1}{12}\)

    תרגם ופתור יישומים

    כדי לפתור יישומים באמצעות מאפייני החלוקה והכפל של שוויון, אנו נעקוב אחר אותם צעדים בהם השתמשנו בסעיף האחרון. נשחזר את הבעיה במשפט אחד בלבד, נקצה משתנה ואז נתרגם את המשפט למשוואה לפתרון.

    תרגיל \(\PageIndex{37}\)

    דנה קנתה 6 פאונד ענבים תמורת 10.74 דולר. מה היתה העלות של קילו אחד של ענבים?

    תשובה

    \[\begin{array} {ll} {\text{What are you asked to find?}} &{\text{The cost of 1 pound of grapes}} \\\\ {\text{Assign a variable.}} &{\text{Let c = the cost of one pound.}} \\\\ {\text{Write a sentence that gives the}} &{\text{The cost of 6 pounds is }$10.74} \\ {\text{information to find it.}} &{} \\\\ {\text{Translate into an equation.}} &{6c = 10.74} \\ {\text{Solve.}} &{\frac{6c}{c} = \frac{10.74}{6}} \\ {} &{c = 1.79} \\\\ {} &{\text{The grapes cost }$ 1.79 \text{ per pound.}} \\ \\ {\text{Check: If one pound costs }$1.79, do} &{} \\ {\text{6 pounds cost }$ 10.74?} &{} \\\\ {6(1.79) \stackrel{?}{=} 10.74} &{} \\ {10.74 = 10.74\checkmark} &{} \end{array}\]

    תרגיל \(\PageIndex{38}\)

    תרגם ופתור:

    אריאנה קנתה חבילה של 24 בקבוקי מים תמורת 9.36 דולר. מה המחיר של בקבוק מים אחד?

    תשובה

    $0.39

    תרגיל \(\PageIndex{39}\)

    תרגם ופתור:

    באולם הבאולינג של JB, 6 אנשים יכולים לשחק בנתיב אחד תמורת 34.98 דולר. מה העלות עבור כל אדם?

    תשובה

    $5.83

    תרגיל \(\PageIndex{40}\)

    אנדראס קנה מכונית משומשת תמורת 12,000 דולר. מכיוון שהמכונית הייתה בת 4, המחיר שלה היה \(\frac{3}{4}\) מהמחיר המקורי, כשהמכונית הייתה חדשה. מה היה המחיר המקורי של המכונית?

    תשובה

    \[\begin{array} {ll} {\text{What are you asked to find?}} &{\text{The original price of the car}} \\\\ {\text{Assign a variable.}} &{\text{Let p = the original price.}} \\\\ {\text{Write a sentence that gives the}} &{$12000\text{ is }\frac{3}{4} \text{ of the original price.}} \\ {\text{information to find it.}} &{} \\\\ {\text{Translate into an equation.}} &{12000 = \frac{3}{4}p} \\ {} &{\frac{3}{4}(12000) = \frac{4}{3}\cdot \frac{3}{4}p}\\ {}&{16000 = p} \\{\text{Solve.}} &{} \\\\ {} &{\text{The original cost of the car was }$ 16000.} \\ \\ {\text{Check: Is }\frac{3}{4} \text{ of }$16000 \text{ equal to }$12000} &{} \\\\ {\frac{3}{4}\cdot 16000 \stackrel{?}{=} 12000} &{} \\ {12000 = 12000\checkmark} &{} \end{array}\]

    תרגיל \(\PageIndex{41}\)

    תרגם ופתור:

    הארנונה השנתית על ביתו של מהטה היא 1,800 דולר, המחושב לפי שווי הבית \(\frac{15}{1000}\) המוערך. מהו הערך המוערך של ביתו של מהטה?

    תשובה

    120000 דולר

    תרגיל \(\PageIndex{42}\)

    תרגם ופתור:

    סטלה שתלה 14 דירות פרחים בגינה \(\frac{2}{3}\) שלה. כמה דירות פרחים היא תצטרך כדי למלא את כל הגן?

    תשובה

    21 דירות

    מושגי מפתח

    • חלוקת רכוש השוויון - לכל המספרים a, b ו - c, ואם \(c\neq 0\)\(a=b\), אז\(\frac{a}{c} = \frac{b}{c}\).
      כשאתה מחלק את שני צידי המשוואה במספר שאינו אפס, עדיין יש לך שוויון.
    • תכונת הכפל של שוויון - עבור כל המספרים a, b ו- c, אם\(a=b\), אז\(ac = bc\).
      אם מכפילים את שני צידי המשוואה באותו מספר, עדיין יש לך שוויון.