2.1: לפתור משוואות באמצעות תכונות החיסור וההוספה של שוויון
- Page ID
- 205580
בסוף פרק זה תוכל:
- ודא פתרון של משוואה
- לפתור משוואות באמצעות תכונות החיסור וההוספה של שוויון
- לפתור משוואות הדורשות פישוט
- תרגם למשוואה ופתור
- תרגם ופתור יישומים
לפני שתתחיל, קח את חידון המוכנות הזה.
- להעריך \(x+4\) מתי\(x=−3\).
אם פספסת בעיה זו, סקור את תרגיל 1.5.25. - להעריך \(15−y\) מתי\(y=−5\).
אם פספסת בעיה זו, סקור את תרגיל 1.5.31. - לפשט\(4(4n+1)−15n\).
אם פספסת בעיה זו, עיין בתרגיל 1.10.49. - תרגם לאלגברה "5 הוא פחות מ- x."
אם פספסת בעיה זו, סקור את תרגיל 1.3.43.
אמת פתרון של משוואה
פתרון משוואה זה כמו לגלות את התשובה לחידה. המטרה בפתרון משוואה היא למצוא את הערך או הערכים של המשתנה שהופכים כל צד של המשוואה זהה - כך שבסופו של דבר נקבל אמירה אמיתית. כל ערך של המשתנה שהופך את המשוואה לאמיתית נקרא פיתרון למשוואה. זו התשובה לפאזל!
פיתרון של משוואה הוא ערך של משתנה שעושה אמירה אמיתית כאשר הוא מוחלף במשוואה.
- החלף את המספר במשתנה במשוואה.
- פשט את הביטויים משני צידי המשוואה.
- קבע אם המשוואה המתקבלת נכונה (הצד השמאלי שווה לצד ימין)
- אם זה נכון, המספר הוא פתרון.
- אם זה לא נכון, המספר אינו פיתרון.
לקבוע אם \(x = \frac{3}{2}\) הוא פתרון של\(4x−2=2x+1\).
- תשובה
-
מכיוון שפתרון למשוואה הוא ערך של המשתנה שהופך את המשוואה לאמיתית, התחל בהחלפת ערך הפתרון במשתנה.
\(4 x-2=2 x+1\) \(4\left(\color{red}\frac{3}{2}\color{black}\right)-2 \stackrel{?}{=} 2\left(\color{red}\frac{3}{2}\color{black}\right)+1\) להכפיל. \(6-2 \stackrel{?}{=} 3+1\) לחסר. \(4=4 \checkmark \) מכיוון \(x = \frac{3}{2}\) שהתוצאות במשוואה אמיתית (4 שווה למעשה ל -4), \(\frac{3}{2}\) הוא פיתרון למשוואה\(4x−2=2x+1\).
האם \(y = \frac{4}{3}\) פתרון של\(9y+2=6y+3\)?
- תשובה
-
לא
האם \(y = \frac{7}{5}\) פתרון של\(5y+3=10y-4\)?
- תשובה
-
כן
לפתור משוואות באמצעות תכונות החיסור והתוספת של שוויון
אנו הולכים להשתמש במודל כדי להבהיר את תהליך פתרון המשוואה. מעטפה מייצגת את המשתנה - מכיוון שתוכנו אינו ידוע - וכל מונה מייצג אחד. נציב מעטפה אחת וכמה דלפקים בסביבת העבודה שלנו, כפי שמוצג באיור\(\PageIndex{1}\). לשני צידי סביבת העבודה יש מספר זהה של דלפקים, אך כמה דלפקים "מוסתרים" במעטפה. אתה יכול לדעת כמה דלפקים יש במעטפה?

על מה אתה חושב? אילו צעדים אתה לוקח בראש שלך כדי להבין כמה דלפקים יש במעטפה?
אולי אתה חושב: "אני צריך להסיר את 3 הדלפקים בפינה השמאלית התחתונה כדי לקבל את המעטפה בפני עצמה. ניתן להתאים את 3 הדלפקים משמאל עם 3 מימין וכך אוכל לקחת אותם משני הצדדים. זה משאיר חמישה מימין - כך שחייבים להיות 5 דלפקים במעטפה". ראה איור \(\PageIndex{2}\) להמחשה של תהליך זה.

איזו משוואה אלגברית תתאים למצב זה? באיור \(\PageIndex{3}\) כל צד של סביבת העבודה מייצג ביטוי וקו המרכז תופס את מקומו של סימן השוויון. נקרא לתוכן המעטפה x.

בואו נכתוב באלגברית את הצעדים שנקטנו כדי לגלות כמה דלפקים היו במעטפה:
![]() |
|
ראשית, לקחנו שלושה מכל צד. | ![]() |
ואז נשארנו עם חמישה. | ![]() |
בדוק:
חמש במעטפה ועוד שלוש שווה שמונה!
\[5+3=8\]
המודל שלנו נתן לנו מושג מה עלינו לעשות כדי לפתור סוג אחד של משוואה. המטרה היא לבודד את המשתנה בפני עצמו בצד אחד של המשוואה. כדי לפתור משוואות כאלה באופן מתמטי, אנו משתמשים במאפיין החיסור של שוויון.
עבור כל המספרים a, b ו - c,
\[\begin{array} {ll} {\text{If}} &{a = b} \\ {\text{then}} &{a - c = b - c} \end{array}\]
כשאתה מחסיר את אותה כמות משני צידי המשוואה, עדיין יש לך שוויון.
ביצוע פעילות המתמטיקה המניפולטיבית "תכונת חיסור של שוויון" תעזור לך לפתח הבנה טובה יותר כיצד לפתור משוואות באמצעות תכונת החיסור של שוויון.
בואו נראה כיצד להשתמש במאפיין זה כדי לפתור משוואה. זכרו, המטרה היא לבודד את המשתנה בצד אחד של המשוואה. ואנחנו בודקים את הפתרונות שלנו על ידי החלפת הערך במשוואה כדי לוודא שיש לנו אמירה אמיתית.
לפתור:\(y+37=−13\).
- תשובה
-
כדי להשיג y בפני עצמו, נבטל את התוספת של 37 באמצעות תכונת החיסור של שוויון.
הפחת 37 מכל צד כדי 'לבטל' את התוספת. לפשט. בדוק: תחליף \(y=−50\) מכיוון ש- y=−50 הופך את y+37=−13 לאמירה אמיתית, יש לנו את הפתרון למשוואה זו.
לפתור:\(x+19=−27\).
- תשובה
-
\(x=−46\)
לפתור:\(x+16=−34\).
- תשובה
-
\(x=−50\)
מה קורה כאשר למשוואה יש מספר מופחת מהמשתנה, כמו במשוואה\(x−5=8\)? אנו משתמשים במאפיין אחר של משוואות כדי לפתור משוואות שבהן מספר מופחת מהמשתנה. אנו רוצים לבודד את המשתנה, לכן כדי 'לבטל' את החיסור נוסיף את המספר לשני הצדדים. אנו משתמשים בתכונה הנוספת של שוויון.
עבור כל המספרים a, b ו - c,
\[\begin{array} {ll} {\text{If}} &{a = b} \\ {\text{then}} &{a + c = b + c} \end{array}\]
כשאתה מוסיף את אותה כמות משני צידי המשוואה, עדיין יש לך שוויון.
בתרגיל\(\PageIndex{4}\), 37 נוסף ל- y ולכן גרענו 37 כדי 'לבטל' את התוספת. בתרגיל\(\PageIndex{7}\), נצטרך 'לבטל' את החיסור באמצעות תכונת התוספת של שוויון.
לפתור:\(a−28=−37\).
- תשובה
-
הוסף 28 לכל צד כדי 'לבטל' את החיסור. לפשט. בדוק: תחליף \(a=−9\) הפתרון \(a−28=−37\) הוא\(a=−9\).
לפתור:\(n−61=−75\).
- תשובה
-
\(n=−14\)
לפתור:\(p−41=−73\).
- תשובה
-
\(p=−32\)
לפתור: \(x - \frac{5}{8} = \frac{3}{4}\)
- תשובה
-
השתמש בנכס התוספת של שוויון. מצא את ה- LCD כדי להוסיף את השברים בצד ימין. \(x-\frac{5}{8}+\frac{5}{8}=\frac{6}{8}+\frac{5}{8}\) לפשט. \(x=\frac{11}{8}\) בדוק: תחליף \(x= \frac{11}{8}\) לחסר. לפשט. הפתרון \(x - \frac{5}{8} = \frac{3}{4}\) הוא\(x= \frac{11}{8}\).
לפתור:\(p−\frac{2}{3}=\frac{5}{6}\).
- תשובה
-
\(p = \frac{9}{6} p =\frac{3}{2}\)
לפתור:\(q−\frac{1}{2}=\frac{5}{6}\).
- תשובה
-
\(q =\frac{4}{3}\)
הדוגמה הבאה תהיה משוואה עם עשרונים.
לפתור:\(n−0.63=−4.2\).
- תשובה
-
\(n-0.63=-4.2\) השתמש בנכס התוספת של שוויון. להוסיף. \(n=-3.57\) בדוק: \(n=-3.57\) תן\(n=−3.57\).
לפתור:\(b−0.47=−2.1\).
- תשובה
-
\(b=−1.63\)
לפתור:\(c−0.93=−4.6\).
- תשובה
-
\(c=−3.67\)
לפתור משוואות הדורשות פישוט
בדוגמאות הקודמות הצלחנו לבודד את המשתנה בפעולה אחת בלבד. רוב המשוואות בהן אנו נתקלים באלגברה ינקטו צעדים נוספים לפתרון. בדרך כלל, נצטרך לפשט צד אחד או את שני הצדדים של משוואה לפני שנשתמש בתכונות החיסור או ההוספה של שוויון.
עליך תמיד לפשט ככל האפשר לפני שתנסה לבודד את המשתנה. זכור כי לפשט ביטוי פירושו לבצע את כל הפעולות בביטוי. פשט צד אחד של המשוואה בכל פעם. שים לב שהפשט שונה מהתהליך המשמש לפתרון משוואה בה אנו מיישמים פעולה על שני הצדדים.
לפתור:\(9x−5−8x−6=7\).
- תשובה
-
לפתור:\(8y−4−7y−7=4\).
- תשובה
-
\(y=15\)
לפתור:\(6z+5−5z−4=3\).
- תשובה
-
\(z=2\)
לפתור: 5 (נ−4) -4נ=−8.
- תשובה
-
אנו מפשטים את שני צידי המשוואה ככל האפשר לפני שננסה לבודד את המשתנה.
\(5(n-4)-4 n=-8\)
להפיץ בצד שמאל. \(5 n-20-4 n=-8\) השתמש בנכס הקומוטטיבי כדי לארגן מחדש את התנאים. \(5 n-4 n-20=-8\) לשלב מונחים כמו. \(n-20=-8\) כל צד הוא פשוט ככל האפשר. לאחר מכן, לבודד n. בטל חיסור באמצעות תכונת התוספת של שוויון. \(n-20 \; \color{red}{+ 20} \;\color{black}{=-8}\; \color{red}{+20}\) להוסיף. \(n=12\) בדוק. תחליף n = 12.
הפתרון \(5(n−4)−4n=−8\) הוא\(n=12\).
לפתור:\(5(p−3)−4p=−10\).
- תשובה
-
\(p=5\)
לפתור:\(4(q+2)−3q=−8\).
- תשובה
-
\(q=−16\)
לפתור:\(3(2y−1)−5y=2(y+1)−2(y+3)\).
- תשובה
-
אנו מפשטים את שני צידי המשוואה לפני שנבודד את המשתנה.
\(3(2 y-1)-5 y=2(y+1)-2(y+3)\) להפיץ משני הצדדים. \(6 y-3-5 y=2 y+2-2 y-6\) השתמש במאפיין הקומוטטיבי של תוספת. \(6 y-5 y-3=2 y-2 y+2-6\) לשלב מונחים כמו. \(y-3=-4\) כל צד הוא פשוט ככל האפשר. לאחר מכן, לבודד y. בטל חיסור באמצעות תכונת התוספת של שוויון. \(y-3 \color{red} + 3 \color{black} = -4 \color{red} +3\) להוסיף. \(y=-1\) בדוק. תן y = −1.
הפתרון \(3(2y−1)−5y=2(y+1)−2(y+3)3(2y−1)−5y=2(y+1)−2(y+3)\) הוא\(y=−1\).
לפתור:\(4(2h−3)−7h=6(h−2)−6(h−1)\).
- תשובה
-
\(h = 6\)
לפתור:\(2(5x+2)−9x=3(x−2)−3(x−4)\).
- תשובה
-
\(x=2\)
תרגם למשוואה ופתור
כדי לפתור יישומים באופן אלגברי, נתחיל בתרגום ממשפטים באנגלית למשוואות. הצעד הראשון שלנו הוא לחפש את המילה (או המילים) שתתורגם לסימן השווה. להלן כמה מהמילים הנפוצות.
שווה =
- הווה
- שווה ל
- זהה
- התוצאה היא
- נותן
- הייתה
- יהיה
השלבים בהם אנו משתמשים לתרגום משפט למשוואה מפורטים להלן.
- אתר את המילה "שווה". תרגם לסימן שווה (=).
- תרגם את המילים משמאל למילה "שווה" לביטוי אלגברי.
- תרגם את המילים מימין למילה "שווה" לביטוי אלגברי.
תרגם ופתור: אחת עשרה יותר מ - x שווה ל 54.
- תשובה
-
תרגם. הפחת 11 משני הצדדים. לפשט. בדוק: האם 54 אחת עשרה יותר מ 43?
\[\begin{array} {rrr} {43 + 11} &{\stackrel{?}{=}} &{54}\\ {54} &{=} &{54\checkmark} \end{array}\]
תרגם ופתור: עשרה יותר מ - x שווה ל 41.
- תשובה
-
\(x+10=41;x=31\)
תרגם ופתור: שתים עשרה פחות מ - x שווה ל 51.
- תשובה
-
y−12 = 51; y = 63
תרגם ופתור: ההבדל בין 12t ו- 11t הוא -14.
- תשובה
-
תרגם. לפשט. בדוק:
\[\begin{array} {rrl} {12(-14) - 11(-14)} &{\stackrel{?}{=}} &{-14}\\{-168 + 154} &{\stackrel{?}{=}} &{-14} \\ {-14} &{=} &{-14\checkmark}\end{array}\]
תרגם ופתור: ההבדל בין 4x ו- 3x הוא 14.
- תשובה
-
\(4x−3x=14;x=14\)
תרגם ופתור: ההבדל בין 7a ו- 6a הוא -8.
- תשובה
-
\(7a−6a=−8;a=−8\)
תרגם ופתור יישומים
לרוב שאלה הדורשת פיתרון אלגברי יוצאת משאלת חיים אמיתיים. ראשית בשאלה זו נשאלת באנגלית (או בשפת האדם השואל) ולא בסמלים מתמטיים. בגלל זה, זו מיומנות חשובה להיות מסוגלים לתרגם מצב יומיומי לשפה אלגברית.
נתחיל בשחזור הבעיה במשפט אחד בלבד, נקצה משתנה ואז נתרגם את המשפט למשוואה לפתרון. בעת הקצאת משתנה, בחר אות שמזכירה לך את מה שאתה מחפש. לדוגמה, תוכל להשתמש ב - q למספר הרבעונים אם היית פותר בעיה לגבי מטבעות.
משפחת מקינטייר מחזרה עיתונים במשך חודשיים. חודשיים של עיתונים שקלו בסך הכל 57 פאונד. בחודש השני, העיתונים שקלו 28 פאונד. כמה שקלו העיתונים בחודש הראשון?
- תשובה
-
תרגם למשוואה אלגברית ופתור:
למשפחת פאפאס שני חתולים, זאוס ואתנה. יחד הם שוקלים 23 קילו. זאוס שוקל 16 קילו. כמה אתנה שוקלת?
- תשובה
-
7 פאונד
תרגם למשוואה אלגברית ופתור:
סאם והנרי שותפים לדירה. יחד יש להם 68 ספרים. לסם יש 26 ספרים. כמה ספרים יש להנרי?
- תשובה
-
42 ספרים
- קרא את הבעיה. ודא שכל המילים והרעיונות מובנים.
- זהה את מה שאנחנו מחפשים.
- תן שם למה שאנחנו מחפשים. בחר משתנה שייצג את הכמות הזו.
- תרגם למשוואה. זה עשוי להיות מועיל לשחזר את הבעיה במשפט אחד עם המידע החשוב.
- לפתור את המשוואה באמצעות טכניקות אלגברה טובות.
- בדוק את התשובה בבעיה וודא שהיא הגיונית.
- ענה על השאלה במשפט שלם.
רנדל שילם 28,675 דולר עבור מכוניתו החדשה. זה היה 875 דולר פחות ממחיר המדבקה. מה היה מחיר המדבקה של המכונית?
- תשובה
-
\(\begin{array} {ll} {\textbf {Step 1. Read}\text{ the problem. }} &{}\\\\ {\textbf {Step 2. Identify}\text{ what we are looking for.}} &{\text{"What was the sticker price of the car?"}} \\\\ {\textbf{Step 3. Name}\text{ what we are looking for.}} &{} \\ {\text{Choose a variable to represent that quantity.}} &{\text{Let s = the sticker price of the car.}} \\\\{\textbf {Step 4. Translate}\text{ into an equation. Restate }} &{} \\ {\text{the problem in one sentence.}} &{$\text{28675 is } $\text{875 less than the sticker price}} \\ \\ {} &{$\text{28675 is } $\text{875 less than s}}\\ {}&{28675 = s - 875} \\ {\textbf {Step 5. Solve}\text{ the equation. }} &{28675 + 875 = s - 875 + 875}\\ {} &{29550 = s} \\ \\ {\textbf {Step 6. Check}\text{ the answer. }} &{} \\ {\text{Is }$875\text{ less than }$29550\text{ equal to } $28675?} &{} \\ {29550 - 875 \stackrel{?}{=} 28675} &{} \\ {28675 = 28675\checkmark} &{} \\ \\ {\textbf {Step 7. Answer}\text{ the question with }} &{\text{The sticker price of the car was }$29550.} \\ {\text{a complete sentence.}} &{} \end{array}\)
תרגם למשוואה אלגברית ופתור:
אדי שילם 19875 דולר עבור מכוניתו החדשה. זה היה 1025 דולר פחות ממחיר המדבקה. מה היה מחיר המדבקה של המכונית?
- תשובה
-
20900 דולר
תרגם למשוואה אלגברית ופתור:
מחיר הכניסה לסרטים במהלך היום הוא 7.75 דולר. זה 3.25$ פחות המחיר בלילה. כמה עולה הסרט בלילה?
- תשובה
-
11.00 דולר
מושגי מפתח
- כדי לקבוע אם מספר הוא פתרון למשוואה
- החלף את המספר במשתנה במשוואה.
- פשט את הביטויים משני צידי המשוואה.
- קבע אם ההצהרה המתקבלת נכונה.
- אם זה נכון, המספר הוא פתרון.
- אם זה לא נכון, המספר אינו פיתרון.
- תוספת רכוש של שוויון
- עבור כל המספרים a, b ו- c, אם a = b, אז a+c = b+c.
- חיסור רכוש השוויון
- עבור כל המספרים a, b ו- c, אם א=ב, אז א−ג=ב−ג.
- לתרגם משפט למשוואה
- אתר את המילה "שווה". תרגם לסימן שווה (=).
- תרגם את המילים משמאל למילה "שווה" לביטוי אלגברי.
- תרגם את המילים מימין למילה "שווה" לביטוי אלגברי.
- כדי לפתור יישום
- קרא את הבעיה. ודא שכל המילים והרעיונות מובנים.
- זהה את מה שאנחנו מחפשים.
- תן שם למה שאנחנו מחפשים. בחר משתנה שייצג את הכמות הזו.
- תרגם למשוואה. זה עשוי להיות מועיל לשחזר את הבעיה במשפט אחד עם המידע החשוב.
- לפתור את המשוואה באמצעות טכניקות אלגברה טובות.
- בדוק את התשובה בבעיה וודא שהיא הגיונית.
- ענה על השאלה במשפט שלם.
רשימת מילים
- פתרון של משוואה
- פיתרון של משוואה הוא ערך של משתנה שעושה אמירה אמיתית כאשר הוא מוחלף במשוואה.